2004年考研数学二第14题

**答案**: （A）

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**解析**:

方法 1：由矩阵秩的重要公式：若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，如果 $A B=0$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，由 $A B=0$ 知，$r(A)+r(B) \leq n$ ，其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数，也是 $B$ 的行数

因 $A$ 为非零矩阵，故 $r(A) \geq 1$ ，因 $r(A)+r(B) \leq n$ ，从而 $r(B) \leq n-1\lt n$ ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知 $B$ 的行向量组线性相关．

因 $B$ 为非零矩阵，故 $r(B) \geq 1$ ，因 $r(A)+r(B) \leq n$ ，从而 $r(A) \leq n-1\lt n$ ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知 $A$ 的列向量组线性相关．故应选（A）． 方法 2：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，将 $B$ 按列分块，由 $A B=0$ 得，

$$ A B=A\left[\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}\right]=0, A \beta_{i}=0, i=1,2, \cdots, s $$

因 $B$ 是非零矩阵，故存在 $\beta_{i} \neq 0$ ，使得 $A \beta_{i}=0$ ．即齐次线性方程组 $A x=0$ 有非零解．由齐次线性方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件 $r(A)\lt n$ ，知 $r(A)\lt n$ ．所以 $A$的列向量组线性相关．

又 $(A B)^{T}=B^{T} A^{T}=0$ ，将 $A^{T}$ 按列分块，得

$$ B^{T} A^{T}=B^{T}\left[\alpha_{1}^{T}, \alpha_{2}^{T}, \cdots, \alpha_{m}^{T}\right]=0, B^{T} \alpha_{i}^{T}=0, i=1,2, \cdots, m . $$

因 $A$ 是非零矩阵，故存在 $\alpha_{i}^{T} \neq 0$ ，使得 $B^{T} \alpha_{i}^{T}=0$ ，即齐次线性方程组 $B x=0$ 有非零解．由齐次线性方程组 $B x=0$ 有非零解的充要条件，知 $B^{T}$ 的列向量组线性相关，由 $B^{T}$ 是由 $B$ 行列互换得到的，从而 $B$ 的行向量组线性相关，故应选（A）．

方法 3：设 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times s}$ ，将 $A$ 按列分块，记 $A=\left(\begin{array}{llll}A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n}\end{array}\right)$

$$ \text { 由 } \begin{align*} A B=0 \Rightarrow & \left(\begin{array}{llll} A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n s} \end{array}\right) \\ & =\left(b_{11} A_{1}+\cdots+b_{n 1} A_{n}, \cdots\right. \tag{1}\\ \cdots & \left., b_{1 s} A_{1}+\cdots+b_{n s} A_{n}\right)=0 \end{align*} $$

由于 $B \neq 0$ ，所以至少有一个 $b_{i j} \neq 0(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq s)$ ，又由（1）知， $b_{1 j} A_{1}+b_{2 j} A_{2}+\cdots+b_{i j} A_{i}+\cdots+b_{n j} A_{n}=0$ ，所以 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}$ 线性相关．即 $A$ 的列向量组线性相关． （向量组线性相关的定义：如果对 $m$ 个向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in R^{n}$ ，有 $m$ 个不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} \in R$ ，使 $k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{m} \alpha_{m}=0$ 成立，则称 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性相关．）

又将 $B$ 按行分块，记 $B=\left(\begin{array}{c}B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{n}\end{array}\right)$ ，同样，

$$ A B=0 \Rightarrow\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{11} B_{1}+a_{12} B_{2}+\cdots+a_{1 n} B_{n} \\ a_{21} B_{1}+a_{22} B_{2}+\cdots+a_{2 n} B_{n} \\ \cdots \\ a_{m 1} B_{1}+a_{m 2} B_{2}+\cdots+a_{m n} B_{n} \end{array}\right)=0 $$

由于 $A \neq 0$ ，则至少存在一个 $a_{i j} \neq 0(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ ，使

$$ a_{i 1} B_{1}+a_{i 2} B_{2}+a_{i j} B_{j}+\cdots+a_{i n} B_{n}=0 $$

由向量组线性相关的定义知，$B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{m}$ 线性相关，即 $B$ 的行向量组线性相关， 故应选（A）． 方法 4：用排除法．取满足题设条件的 $A, B$ ．

$$ \text { 取 } A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \neq 0, B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \neq 0 \text {, 有 } A B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=0 \text {, } $$

$A$ 的行向量组，列向量组均线性相关，但 $B$ 的列向量组线性无关，故（B），（D）不成立．

$$ \text { 又取 } A=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \neq 0, B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \neq 0 \text {, 有 } A B=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]=0 \text {, } $$

$A$ 的行向量组线性无关，$B$ 的列向量组线性相关，故（C）不成立． 由排除法知应选（A）。

## 三、解答题．