2004年考研数学二第10题
📝 题目
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)\gt 0$ ，则存在 $\delta\gt 0$ ，使得（ ）
A
$f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加．
B
$f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少．
C
对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)\gt f(0)$ 。
D
对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)\gt f(0)$ ．
💡 答案解析
**答案**: （C）
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**解析**:
函数 $f(x)$ 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除（A），（B）． 由导数的定义，知 $f^{\prime}(0)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}\gt 0$
根据极限的保号性，知存在 $\delta\gt 0$ ，当 $x \in(-\delta, 0) \cup(0, \delta)$ 时，有 $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}\gt 0$ ．即当 $x \in(-\delta, 0)$ 时，$x\lt 0$ ，有 $f(x)\lt f(0)$ ；而当 $x \in(0, \delta)$ 时，$x\gt 0$ 有 $f(x)\gt f(0)$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出导数定义式
根据题目条件，已知函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)>0$。导数的定义是函数在某点处变化率的极限，即$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$。由于$f'(0)>0$，因此有极限值大于零：$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。这个极限表达式是后续推理的基础，它表明当$x$充分接近$0$时，差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}$的符号与极限的符号一致，即存在某个邻域（$x\neq0$）使得该差商大于零。注意，这里$x$可以取正值或负值，但极限的正性保证了在$x$足够小时，差商的正负性由分子和分母的符号共同决定。
公式：$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$$
提示：牢记导数定义式，并注意极限大于零可推出局部保号性。
步骤 2/4
目标：应用极限保号性
已知极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = a > 0$。根据极限的保号性（局部保号性定理），若极限值大于零，则存在某个去心邻域，使得函数在该邻域内恒大于零。具体地，由于 $a > 0$，可取 $\varepsilon = \frac{a}{2} > 0$，则存在 $\delta > 0$，当 $x \in (-\delta, 0) \cup (0, \delta)$ 时，有 $$\left| \frac{f(x)-f(0)}{x} - a \right| < \frac{a}{2}.$$ 由此可得 $$\frac{f(x)-f(0)}{x} > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0.$$ 因此，在去心邻域 $(-\delta, 0) \cup (0, \delta)$ 内，$\frac{f(x)-f(0)}{x} > 0$ 恒成立。这一结论是后续分析函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近单调性的关键依据。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = a > 0 \Rightarrow \exists \delta > 0, \forall x \in (-\delta,0)\cup(0,\delta), \frac{f(x)-f(0)}{x} > 0$$
提示：保号性中取ε = a/2是常用技巧，确保差值小于a/2即可得到正性。
步骤 3/4
目标：分情况讨论x的正负
由步骤2已知，存在某个邻域$U(0,\delta)$，使得当$0<|x|<\delta$时，差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。现在需要根据$x$的正负分别讨论$f(x)$与$f(0)$的大小关系。\n\n**情况一：当$x\in(0,\delta)$时**，此时$x>0$。由于差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$，且分母$x>0$，不等式两边同乘以正数$x$不等号方向不变，得到$f(x)-f(0)>0$，即$f(x)>f(0)$。这表明在$0$的右侧邻域内，函数值均大于$f(0)$。\n\n**情况二：当$x\in(-\delta,0)$时**，此时$x<0$。差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$，但分母$x<0$，不等式两边同乘以负数$x$不等号方向要反转，因此$f(x)-f(0)<0$，即$f(x)
公式：\frac{f(x)-f(0)}{x}>0,\quad x\in(-\delta,0)\cup(0,\delta)
提示：注意分母符号决定不等式方向，分正负讨论是处理此类问题的关键。
步骤 4/4
目标：判断选项正误
根据前几步的结论，已知 $f'(0) > 0$，由导数定义可得 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} > 0$。由极限的保号性，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in (0, \delta)$ 时，$\frac{f(x) - f(0)}{x} > 0$，由于 $x > 0$，故 $f(x) - f(0) > 0$，即 $f(x) > f(0)$；当 $x \in (-\delta, 0)$ 时，$\frac{f(x) - f(0)}{x} > 0$，由于 $x < 0$，故 $f(x) - f(0) < 0$，即 $f(x) < f(0)$。
现在分析四个选项：
- **选项A**：存在 $\delta > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加。
一点导数大于0只能保证在该点处函数值有局部增长趋势，但不能保证在邻域内单调递增。反例：$f(x) = x + 2x^2 \sin\frac{1}{x}$（$x \neq 0$），$f(0)=0$，则 $f'(0)=1>0$，但在任何 $0$ 的邻域内 $f(x)$ 都不是单调的。故A错误。
- **选项B**：存在 $\delta > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少。
同理，一点导数大于0不能保证左侧邻域内单调递减，反例同上。故B错误。
- **选项C**：存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x \in (0, \delta)$，有 $f(x) > f(0)$。
由极限保号性，这正是我们得到的结论，故C正确。
- **选项D**：存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x \in (-\delta, 0)$，有 $f(x) > f(0)$。
由极限保号性，当 $x \in (-\delta, 0)$ 时应有 $f(x) < f(0)$，故D错误。
因此，正确选项为C。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) > 0 \quad \Rightarrow \quad \exists \delta>0, \forall x \in (0,\delta), f(x) > f(0)
提示：一点导数符号只能保证局部函数值大小关系，不能保证单调性。
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