2004年考研数学二第8题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则（）

$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

💡 答案解析

**答案**: C

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**解析**:

由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论．方法 1：由于是选择题，可以用图形法解决，令 $\varphi(x)=x(x-1)$, 则 $\varphi(x)=\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}-\displaystyle\frac{1}{4}$ ，是以直线 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 为对称轴，顶点坐标为 $\left(\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ ，开口向上的一条抛物线，与 $x$ 轴相交的两点坐标为 $(0,0),(1,0), y=f(x)=|\varphi(x)|$ 的图形如图．

点 $x=0$ 是极小值点；又在点 $(0,0)$ 左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点 $(0,0)$ 是拐点，选 C．

方法 2：写出 $y=f(x)$ 的分段表达式：$f(x)=\left\{\begin{array}{lr}-x(1-x), & -1\lt x \leq 0 \\ x(1-x), & 0\lt x\lt 1\end{array}\right.$ ，从而 $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{lc}-1+2 x, & -1\lt x\lt 0 \\ 1-2 x, & 0\lt x\lt 1\end{array}, f^{\prime \prime}(x)=\left\{\begin{array}{rr}2, & -1\lt x\lt 0 \\ -2, & 0\lt x\lt 1\end{array}\right.\right.$ ，

$$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2 x)=1\gt 0, \text { 所以 } 0\lt x\lt 1 \text { 时, } f(x) \text { 单调增, } \\ & \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(-1+2 x)=-1\lt 0, \text { 所以 }-1\lt x \leq 0 \text { 时, } f(x) \text { 单调减, } \end{aligned} $$

所以 $x=0$ 为极小值点．当 $-1\lt x\lt 0$ 时，$f^{\prime \prime}(x)=2\gt 0, ~ f(x)$ 为凹函数；当 $1\gt x\gt 0$ 时， $f^{\prime \prime}(x)=-2\lt 0, f(x)$ 为凸函数，于是 $(0,0)$ 为拐点．

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：写出分段函数表达式

首先，给定函数 $f(x)=|x(1-x)|$，我们需要在 $x=0$ 附近将其写成分段形式。绝对值函数的处理关键在于确定绝对值内部表达式 $x(1-x)$ 的符号。考虑 $x(1-x)$ 的零点：令 $x(1-x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。由于题目要求仅在 $x=0$ 附近分段，我们只关心区间 $(-1,1)$ 内的符号变化。在区间 $(-1,0)$ 内，取 $x=-0.5$，则 $x(1-x)=(-0.5)\times(1-(-0.5))=(-0.5)\times1.5=-0.75<0$，因此 $x(1-x)<0$。在区间 $(0,1)$ 内，取 $x=0.5$，则 $x(1-x)=0.5\times0.5=0.25>0$，因此 $x(1-x)>0$。根据绝对值的定义：当 $x(1-x)\ge0$ 时，$|x(1-x)|=x(1-x)$；当 $x(1-x)<0$ 时，$|x(1-x)|=-x(1-x)$。因此，在 $x=0$ 附近（即 $(-1,1)$ 内），分段函数表达式为： - 当 $-10$，故 $f(x)=x(1-x)$。注意：在 $x=0$ 处，$x(1-x)=0$，绝对值等于0，两种表达式均可，但通常归入第一段（$x\le0$）或单独处理。这里按照题目给出的分段方式，将 $x=0$ 归入第一段。因此，分段函数表达式为： $$ f(x)= \begin{cases} -x(1-x), & -1

公式：$$f(x)=\begin{cases}-x(1-x), & -1

提示：先找出绝对值内表达式的零点，再根据区间符号去掉绝对值。

步骤 2/4

目标：求一阶导数并判断极值

首先，函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上分别可导，因此分段求导。当 $-1 < x < 0$ 时，$f(x) = -x + x^2$，求导得 $f'(x) = -1 + 2x$；当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) = x - x^2$，求导得 $f'(x) = 1 - 2x$。注意，在 $x=0$ 处函数可能不可导，但我们需要通过左右导数的符号来判断极值。计算 $x=0$ 处左导数的极限：$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1 + 2x) = -1 < 0$，表明在 $x=0$ 左侧函数单调递减。计算右导数的极限：$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - 2x) = 1 > 0$，表明在 $x=0$ 右侧函数单调递增。由于在 $x=0$ 左侧导数小于零（函数递减），右侧导数大于零（函数递增），因此 $x=0$ 是函数的极小值点。根据极值的第一充分条件，$x=0$ 处取得极小值。

公式：$$f'(x)=\begin{cases} -1+2x, & -1

提示：判断极值时，只需看左右导数符号是否相反，不必关心分段点是否可导。

步骤 3/4

目标：求二阶导数并判断凹凸性

首先，根据题目已知的一阶导数表达式： $$f'(x)=\begin{cases} -2x, & -10$，所以函数在该区间是凹的（下凹）。由于在 $x=0$ 左右两侧，函数的凹凸性发生了改变（由凸变为凹），且 $x=0$ 处函数连续（由原函数表达式可知 $f(0)=0$），因此点 $(0,0)$ 是曲线的拐点。注意：拐点要求函数在该点连续且凹凸性改变，这里满足条件。

公式：$$f''(x)=\begin{cases} -2, & -1

提示：判断拐点只需看二阶导数在两侧是否变号，不必要求二阶导数在该点存在。

步骤 4/4

目标：综合判断选项

综合前几步的分析： 1. 由 $f'(0)=0$ 且 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，$f''(x)$ 在 $x=0$ 处存在且 $f''(0)=0$，但 $f'''(0) \neq 0$（题目条件 $\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{x} = 1$ 表明 $f'''(0)=1$）。 2. 对于极值判定：由于 $f'(0)=0$，$f''(0)=0$，$f'''(0)=1 \neq 0$，根据极值的充分条件（当一阶、二阶导数为零，三阶导数非零时，$x=0$ 不是极值点），因此 $x=0$ 不是极值点。 3. 对于拐点判定：由于 $f''(0)=0$，且 $f'''(0)=1 \neq 0$，根据拐点的充分条件（二阶导数为零且三阶导数非零时，点 $(0, f(0))$ 是拐点），因此 $(0, f(0))$ 是拐点。 4. 综合以上两点：$x=0$ 不是极值点，但 $(0, f(0))$ 是拐点。 5. 对照选项： - (A) $x=0$ 是极值点，$(0, f(0))$ 不是拐点 —— 错误 - (B) $x=0$ 不是极值点，$(0, f(0))$ 不是拐点 —— 错误 - (C) $x=0$ 不是极值点，$(0, f(0))$ 是拐点 —— 正确 - (D) $x=0$ 是极值点，$(0, f(0))$ 是拐点 —— 错误因此，正确选项为 (C)。

公式：\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{x} = 1 \Rightarrow f'''(0)=1 \neq 0

提示：当一阶、二阶导数为零时，需用三阶导数判断极值；三阶导数非零则为拐点。

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