2004年考研数学二第7题

选择题 · 4分

📝 题目

把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\displaystyle\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, \beta=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）

$\alpha, \beta, \gamma$ ．

$\alpha, \gamma, \beta$ ．

$\beta, \alpha, \gamma$ ．

$\beta, \gamma, \alpha$ ．

💡 答案解析

**答案**: （B）

---

**解析**:

方法 1： $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t}{\displaystyle\int_{0}^{x} \cos t^{2} d t} \xlongequal{\text { 洛必达 }} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\tan x \cdot 2 x}{\cos x^{2}}=0$ ，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除（C），（D）选项，

又 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\gamma}{\beta}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t}{\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t} \xlongequal{\text { 洛必达 }} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\sin x^{\displaystyle\frac{3}{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{2 x \tan x}$ $\xlongequal{\text { 等价无穷小替换 }} \displaystyle\frac{1}{4} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x}{x^{2}}=\infty$ ，

可见 $\gamma$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小量，故应选（B）．

方法 2：用 $x^{k}$（当 $x \rightarrow 0$ 时）去比较。

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\alpha}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \cos t^{2} d t}{x^{k}} \xlongequal{\text { 洛 }} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos x^{2}}{k x^{k-1}} $$

欲使上式极限存在但不为 0 ，应取 $k=1$ ，有 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\alpha}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\cos t^{2}}{x^{0}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \cos t^{2}}{\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{0}}=1$ ，所以（当 $x \rightarrow 0^{+}$时）$\alpha$ 与 $x$ 同阶．

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\beta}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t}{x^{k}} \xlongequal{\text { 洛 }} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\tan x \cdot 2 x}{k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot 2 x}{k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{k x^{k-3}} $$

欲使上式极限存在但不为 0 ，应取 $k=3$ ，有 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\beta}{x^{3}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{2 \tan x}{3 x^{3-2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{2 \tan x}{3 x}=\displaystyle\frac{2}{3}$ ，所以（当 $x \rightarrow 0^{+}$时）$\beta$ 与 $x^{3}$ 同阶．

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\gamma}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t}{x^{k}} \xlongequal{\text { 洛 }} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}}}{2 k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}}}{2 k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{2 k x^{k-1}} \text {, } $$

欲使上式极限存在但不为 0 ，应取 $k=2$ ，有 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\gamma}{x^{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x}{2 \cdot 2 x^{2-1}}=\displaystyle\frac{1}{4}$ ，所以（当 $x \rightarrow 0^{+}$时）$\gamma$ 与 $x^{2}$ 同阶．因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是 $\alpha, \gamma, \beta$ ，选（B）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：确定α的阶数

首先，我们需要确定无穷小量 $\alpha(x)=\int_{0}^{x}\cos(t^2)\,dt$ 当 $x\to 0$ 时的阶数。为此，考虑极限 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{x^k}$，其中 $k>0$ 为待定常数。由于当 $x\to 0$ 时，分子 $\alpha(x)\to 0$，分母 $x^k\to 0$，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可使用洛必达法则。对分子求导，由变上限积分求导公式得 $\alpha'(x)=\cos(x^2)$；对分母求导得 $k x^{k-1}$。于是 $$\lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{x^k}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x^2)}{k x^{k-1}}.$$ 为使极限为非零常数，分母的阶数应与分子的非零极限相匹配。当 $x\to 0$ 时，$\cos(x^2)\to 1$，因此分母必须趋于非零常数，即 $k-1=0$，故 $k=1$。此时极限为 $\frac{1}{1}=1$，为非零常数。因此 $\alpha(x)$ 与 $x$ 是同阶无穷小，且等价于 $x$，即 $\alpha(x)\sim x$（一阶）。

公式：$$\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}\cos(t^2)\,dt}{x}=1$$

提示：洛必达后令分母指数为0，即可快速确定阶数。

步骤 2/4

目标：确定β的阶数

我们需要确定函数 $\beta(x)=\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \, dt$ 当 $x \to 0$ 时的无穷小阶数。为此，我们考虑极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^{k}}$，并寻找使得该极限为非零常数的 $k$ 值。由于 $\beta(0)=0$ 且分子分母均趋于0，我们使用洛必达法则。首先计算 $\beta'(x)$。由变上限积分求导公式，有 $\beta'(x) = \tan \sqrt{x^{2}} \cdot 2x = \tan(|x|) \cdot 2x$。当 $x \to 0$ 时，$\tan(|x|) \sim |x|$，因此 $\beta'(x) \sim 2x \cdot |x| = 2x|x|$。由于我们考虑 $x \to 0$ 且通常取 $x>0$ 的小邻域，可写 $\beta'(x) \sim 2x^{2}$。更严格地，利用等价无穷小 $\tan u \sim u \ (u \to 0)$，得 $\beta'(x) = 2x \tan x \sim 2x \cdot x = 2x^{2}$。现在应用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^{k}} = \lim_{x \to 0} \frac{\beta'(x)}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \tan x}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{k x^{k-2}}. $$ 由于 $\tan x \sim x$，上式等价于 $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{k x^{k-2}} = \frac{2}{k} \lim_{x \to 0} x^{3-k}$。为使极限为非零常数，需 $3-k=0$，即 $k=3$。此时极限值为 $\frac{2}{3}$。因此 $\beta(x)$ 是 $x$ 的三阶无穷小，且 $\beta(x) \sim \frac{2}{3}x^{3}$。

公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^{k}} = \frac{2}{3} \quad \text{当 } k=3, \quad \beta(x) \sim \frac{2}{3}x^{3}$$

提示：利用等价无穷小简化导数，再通过洛必达法则确定阶数，注意 $x \to 0$ 时 $\tan x \sim x$。

步骤 3/4

目标：确定γ的阶数

我们需要确定函数 $\gamma(x)=\int_0^{\sqrt{x}}\sin(t^3)\,dt$ 当 $x\to 0^+$ 时的阶数。即寻找实数 $k$，使得 $\gamma(x)\sim C x^k$（$C\neq0$）。为此，考虑极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\gamma(x)}{x^k}$，并令该极限为非零常数。由于 $\gamma(0)=0$，且分子分母均趋于0，我们使用洛必达法则。对分子求导：由变上限积分求导公式，$\gamma'(x)=\sin\big((\sqrt{x})^3\big)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sin(x^{3/2})}{2\sqrt{x}}$。分母 $x^k$ 的导数为 $k x^{k-1}$。因此 $$ \lim_{x\to 0^+}\frac{\gamma(x)}{x^k}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\gamma'(x)}{k x^{k-1}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x^{3/2})}{2\sqrt{x}\cdot k x^{k-1}}=\frac{1}{2k}\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x^{3/2})}{x^{k-1/2}}. $$ 当 $x\to 0^+$ 时，$\sin(x^{3/2})\sim x^{3/2}$，所以上式等价于 $$ \frac{1}{2k}\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{3/2}}{x^{k-1/2}}=\frac{1}{2k}\lim_{x\to 0^+}x^{2-k}. $$ 要使极限为非零常数，必须 $2-k=0$，即 $k=2$。此时极限值为 $\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}$。因此 $\gamma(x)\sim \dfrac{1}{4}x^2$，即 $\gamma$ 是 $x$ 的二阶无穷小。

公式：$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\gamma(x)}{x^k}=\frac{1}{2k}\lim_{x\to 0^+}x^{2-k}$$

提示：利用等价无穷小简化正弦函数，再通过指数匹配确定阶数。

步骤 4/4

目标：按阶数从小到大排列

在前三步中，我们已经分别求出了三个无穷小量 $\alpha, \beta, \gamma$ 关于 $x \to 0$ 的阶数： - $\alpha$ 是 $x$ 的一阶无穷小（因为 $\alpha \sim x$）； - $\beta$ 是 $x$ 的三阶无穷小（因为 $\beta \sim \frac{1}{3}x^3$）； - $\gamma$ 是 $x$ 的二阶无穷小（因为 $\gamma \sim \frac{1}{2}x^2$）。现在需要按阶数从小到大排列，即从最低阶（增长最慢）到最高阶（增长最快）的顺序。阶数越小，无穷小趋于零的速度越慢；阶数越大，趋于零的速度越快。比较阶数：一阶 < 二阶 < 三阶。因此，$\alpha$（一阶）最小，$\gamma$（二阶）次之，$\beta$（三阶）最大。所以从小到大的排列顺序为：$\alpha, \gamma, \beta$。对应选项为 (B)。 **最终答案验证**： - 当 $x \to 0$ 时，$\alpha = x$ 趋于零的速度最慢，$\gamma = \frac{1}{2}x^2$ 次之，$\beta = \frac{1}{3}x^3$ 最快。 - 例如取 $x=0.1$，则 $\alpha=0.1$，$\gamma=0.005$，$\beta\approx0.000333$，数值大小顺序为 $\alpha > \gamma > \beta$，与阶数从小到大顺序一致。 - 因此排列 $\alpha, \gamma, \beta$ 正确。

公式：\alpha \sim x,\quad \gamma \sim \frac{1}{2}x^2,\quad \beta \sim \frac{1}{3}x^3

提示：阶数越小，趋于零越慢；比较时先确定各无穷小的阶数，再按阶数数值从小到大排序。

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