2004年考研数学二第18题
📝 题目
曲线 $y=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 与直线 $x=0, x=t(t\gt 0)$ 及 $y=0$ 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $V(t)$ ，侧面积为 $S(t)$ ，在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)$ ． （I）求 $\displaystyle\frac{S(t)}{V(t)}$ 的值； （II）计算极限 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{S(t)}{F(t)}$ ．
💡 答案解析
好的，我们先把问题中的基本条件分析清晰，然后按顺序分两部分解答。题目里的曲线是双曲余弦函数，因此我们首先标识并写出必要的公式。
曲线方程为 \[ y = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh x \] 它与直线 \(x=0\)、\(x=t\ (t>0)\) 以及 \(y=0\) 构成一个曲边梯形。绕 x 轴旋转得到旋转体，需要我们先写出体积、侧面积及底面积的表达式。
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**第一步：写出体积 \(V(t)\)**
绕 x 轴旋转的体积公式： \[ V(t) = \pi \int_0^t y^2 \, dx \] 代入 \(y = \cosh x\) \[ V(t) = \pi \int_0^t \cosh^2 x \, dx \] 利用恒等式 \(\cosh^2 x = \frac{1+\cosh 2x}{2}\)，得 \[ V(t) = \pi \int_0^t \frac{1+\cosh 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{\sinh 2x}{2} \right]_0^t \] 因此 \[ V(t) = \frac{\pi}{2} \left( t + \frac{\sinh 2t}{2} \right) = \frac{\pi}{4} (2t + \sinh 2t) \]
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**第二步：写出侧面积 \(S(t)\)**
旋转体侧面积公式（对 x 从 0 到 t）： \[ S(t) = 2\pi \int_0^t y \sqrt{1+(y')^2}\,dx \] 先求导： \(y = \cosh x\)，则 \(y' = \sinh x\)， 于是 \[ 1+(y')^2 = 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x \] 因此 \[ \sqrt{1+(y')^2} = \cosh x \] 代入得 \[ S(t) = 2\pi \int_0^t \cosh x \cdot \cosh x\, dx = 2\pi \int_0^t \cosh^2 x\, dx \] 这与体积中的积分只差一个常数因子。由上面的结果： \[ \int_0^t \cosh^2 x\, dx = \frac{1}{4}(2t + \sinh 2t) \] 所以 \[ S(t) = 2\pi \cdot \frac{1}{4}(2t + \sinh 2t) = \frac{\pi}{2} (2t + \sinh 2t) \]
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**第三步：求第一问 \(\frac{S(t)}{V(t)}\)**
由上面： \[ \frac{S(t)}{V(t)} = \frac{\frac{\pi}{2}(2t+\sinh 2t)}{\frac{\pi}{4}(2t+\sinh 2t)} = \frac{1/2}{1/4} = 2 \] 所以第一问结果是常数 2。
于是 \[ \boxed{2} \]
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**第四步：写出底面积 \(F(t)\)**
在 \(x=t\) 处，旋转体的截面是半径为 \(y(t)=\cosh t\) 的圆，所以底面积 \[ F(t) = \pi [y(t)]^2 = \pi \cosh^2 t \]
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**第五步：计算第二问的极限**
我们要算 \[ \lim_{t\to +\infty} \frac{S(t)}{F(t)} \] 代入： \[ \frac{S(t)}{F(t)} = \frac{\frac{\pi}{2}(2t+\sinh 2t)}{\pi \cosh^2 t} = \frac{2t+\sinh 2t}{2\cosh^2 t} \] 利用双曲函数指数形式： \(\sinh 2t = \frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}\)，\(\cosh^2 t = \left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}\)。
因此 \[ \frac{S(t)}{F(t)} = \frac{2t + \frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}}{2\cdot\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}} = \frac{2t + \frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}}{\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{2}} \] 上下同乘以 2： \[ = \frac{4t + e^{2t} - e^{-2t}}{e^{2t} + 2 + e^{-2t}} \] 当 \(t\to +\infty\)，主导项是 \(e^{2t}\)，所以 \[ \frac{S(t)}{F(t)} \sim \frac{e^{2t}}{e^{2t}} = 1 \] 更精确地： \[ \lim_{t\to+\infty} \frac{4t + e^{2t} - e^{-2t}}{e^{2t} + 2 + e^{-2t}} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1 + \frac{4t}{e^{2t}} - e^{-4t}}{1 + \frac{2}{e^{2t}}+ e^{-4t}} = 1 \]
因此 \[ \boxed{1} \]
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**最终答案：** （I）\(\frac{S(t)}{V(t)} = 2\) （II）\(\lim_{t\to+\infty}\frac{S(t)}{F(t)} = 1\)