2004年考研数学二第19题

好的，我们先将题目重新整理一下，并严格按照分析、关键步骤、证明的结构来解答。

题目条件：

已知 \( e < a < b < e^2 \)，要证明 \[ \ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2} (b - a) \]

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**第一步：先做代数变形**

由对数平方差公式： \[ \ln^2 b - \ln^2 a = (\ln b - \ln a)(\ln b + \ln a) \] 这里还可写成： \[ = \ln\left(\frac{b}{a}\right) \cdot \ln(ab) \] 不过直接用中值定理可能更方便。

考虑函数 \[ f(x) = \ln^2 x \] 那么由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得： \[ \ln^2 b - \ln^2 a = f'(\xi)(b - a) \] 而 \[ f'(x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x} \] 所以我们有： \[ \ln^2 b - \ln^2 a = \frac{2 \ln \xi}{\xi} (b - a) \] 因此，原不等式等价于要证明： \[ \frac{2 \ln \xi}{\xi} > \frac{4}{e^2} \] 其中 \(\xi \in (a, b) \subset (e, e^2)\)。

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**第二步：分析函数的最小值**

令 \[ g(x) = \frac{2 \ln x}{x}, \quad x \in (e, e^2) \] 我们只需证明在这个区间内 \(g(x) > \frac{4}{e^2}\) 恒成立即可。

求导： \[ g'(x) = 2 \cdot \frac{1/x \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = 2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} \]

当 \(x < e\) 时 \(g'(x) > 0\)，当 \(x > e\) 时 \(g'(x) < 0\)，所以在 \(x = e\) 处取得最大值。

最大值： \[ g(e) = \frac{2 \ln e}{e} = \frac{2}{e} \] 而 \(\frac{2}{e} \approx 0.7358\)。

我们再计算区间右端： \[ g(e^2) = \frac{2 \ln(e^2)}{e^2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.5413 \]

由于在 \((e, e^2)\) 上 \(g(x)\) 是单调递减的，所以最小值在右端点 \(x = e^2\) 处取到，即： \[ g(x) > g(e^2) = \frac{4}{e^2}, \quad \forall x \in (e, e^2) \]

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**第三步：整合证明**

由拉格朗日中值定理： \[ \ln^2 b - \ln^2 a = \frac{2\ln \xi}{\xi} (b-a), \quad \xi \in (a,b) \subset (e, e^2) \] 因为对于 \(\xi \in (e, e^2)\) 有 \[ \frac{2\ln \xi}{\xi} > \frac{2\ln(e^2)}{e^2} = \frac{4}{e^2} \] 于是： \[ \ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b - a) \] 证毕。

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**最终答案（可用如下形式表示）：**

\[ \boxed{\ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)} \]

这样步骤就完整了，首先通过中值定理转化，然后利用函数单调性比较取值，完成证明。