2005年考研数学二第1题

首先，我们面对的是一个幂指函数 $(1+\sin x)^x$。幂指函数的特点是底数和指数都含有变量，直接求导或求极限非常困难。通常的处理方法是利用指数函数与对数函数的恒等变形，将其转化为复合指数函数的形式。具体地，对于任意正数底数 $a>0$，有恒等式 $a = e^{\ln a}$，因此对于函数 $y = (1+\sin x)^x$，我们可以令 $y = e^{\ln\left[(1+\sin x)^x\right]}$。利用对数的性质 $\ln(a^b) = b\ln a$，得到 $\ln\left[(1+\sin x)^x\right] = x\ln(1+\sin x)$。于是原函数化为 $y = e^{x\ln(1+\sin x)}$。这样，原来的幂指函数就变成了一个以 $e$ 为底的指数函数，其指数部分是一个关于 $x$ 的复合函数 $x\ln(1+\sin x)$。这一步变形是后续求导或求极限的基础，它将复杂的幂指结构转化为我们熟悉的指数函数形式，从而可以应用指数函数的求导法则或极限运算法则。注意，这里要求 $1+\sin x > 0$，即 $\sin x \neq -1$，在题目所给的区间内通常满足此条件。

将函数 $y = (1+\sin x)^x$ 化为指数形式 $y = e^{x \ln(1+\sin x)}$ 后，我们利用复合函数求导法则进行求导。设 $u = x \ln(1+\sin x)$，则 $y = e^u$，因此 $y' = e^u \cdot u'$。 接下来求 $u'$。$u = x \cdot \ln(1+\sin x)$，这是两个函数的乘积，应用乘积法则：$u' = 1 \cdot \ln(1+\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\ln(1+\sin x)]$。 对 $\ln(1+\sin x)$ 求导，令 $v = 1+\sin x$，则 $\ln v$ 的导数为 $\frac{1}{v} \cdot v'$，而 $v' = \cos x$，所以 $\frac{d}{dx}[\ln(1+\sin x)] = \frac{\cos x}{1+\sin x}$。 因此 $u' = \ln(1+\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{1+\sin x}$。 代入 $y' = e^u \cdot u'$，得到： $$y' = e^{x \ln(1+\sin x)} \left[ \ln(1+\sin x) + \frac{x \cos x}{1+\sin x} \right]$$ 由于 $e^{x \ln(1+\sin x)} = (1+\sin x)^x$，最终结果为： $$y' = (1+\sin x)^x \left[ \ln(1+\sin x) + \frac{x \cos x}{1+\sin x} \right]$$

将 $x = \pi$ 代入导函数表达式 $y'(x) = (1+\sin x)^x \left[ \ln(1+\sin x) + \frac{x \cos x}{1+\sin x} \right]$ 中。 首先计算 $\sin \pi = 0$，$\cos \pi = -1$。 代入得： $$y'(\pi) = (1+0)^\pi \left[ \ln(1+0) + \frac{\pi \cdot (-1)}{1+0} \right]$$ 由于 $1+0 = 1$，$1^\pi = 1$；$\ln 1 = 0$；分母 $1+0 = 1$。 因此： $$y'(\pi) = 1 \times \left[ 0 + \frac{-\pi}{1} \right] = 1 \times (0 - \pi) = -\pi$$ 所以 $y'(\pi) = -\pi$。

在完成前三步的计算后，我们已经得到函数 $y = \arctan x$ 在 $x = \pi$ 处的导数值为 $y'(\pi) = -\pi$。根据微分的定义，函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $dy|_{x=x_0}$ 等于该点的导数 $f'(x_0)$ 乘以自变量的微分 $dx$，即 $dy|_{x=x_0} = f'(x_0) \, dx$。因此，将 $x_0 = \pi$ 和 $y'(\pi) = -\pi$ 代入，得到微分表达式： $$dy|_{x=\pi} = y'(\pi) \, dx = (-\pi) \, dx = -\pi \, dx.$$ 此表达式表示当自变量 $x$ 在 $\pi$ 处产生一个微小增量 $dx$ 时，函数 $y = \arctan x$ 的相应变化量 $dy$ 的线性主部为 $-\pi \, dx$。注意，这里 $dx$ 是自变量的微分，通常取为 $\Delta x$，而 $dy$ 是函数微分的精确线性近似。最终答案即为 $dy|_{x=\pi} = -\pi \, dx$。