2005年考研数学二第2题

斜渐近线的方程为 $y = kx + b$，其中斜率 $k$ 由极限 $k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$ 确定。题目中函数为 $y = \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}}$。首先计算 $\frac{y}{x} = \frac{(1+x)^{3/2}}{x \sqrt{x}} = \frac{(1+x)^{3/2}}{x^{3/2}}$。将分子展开：$(1+x)^{3/2} = x^{3/2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3/2}$。因此 $\frac{y}{x} = \frac{x^{3/2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3/2}}{x^{3/2}} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3/2}$。当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，所以 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3/2} \to 1^{3/2} = 1$。故 $k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = 1$。

本步骤的目标是计算斜渐近线的截距$b$。已知斜渐近线方程为$y = x + b$，其中斜率已确定为$k=1$。截距$b$由极限$b = \lim_{x \to +\infty} (y - x)$给出。将$y = \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}}$代入，得： $$ b = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}} - x \right). $$ 为了计算该极限，首先将表达式通分。将$x$写为$\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{3/2}}{\sqrt{x}}$，则 $$ b = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1+x)^{3/2} - x^{3/2}}{\sqrt{x}}. $$ 分子是立方根差的形式，可利用立方差公式：$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$，但这里指数为$\frac{3}{2}$，可令$u = \sqrt{1+x}$，$v = \sqrt{x}$，则$(1+x)^{3/2} = u^3$，$x^{3/2} = v^3$，于是 $$ (1+x)^{3/2} - x^{3/2} = (\sqrt{1+x} - \sqrt{x})((1+x) + \sqrt{x(1+x)} + x). $$ 因此 $$ b = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{x})((1+x) + \sqrt{x(1+x)} + x)}{\sqrt{x}}. $$ 对$\sqrt{1+x} - \sqrt{x}$有理化： $$ \sqrt{1+x} - \sqrt{x} = \frac{(1+x)-x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}. $$ 代入得： $$ b = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})} \cdot \left( (1+x) + \sqrt{x(1+x)} + x \right). $$ 将分母中的$\sqrt{x}$与$\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$合并：$\sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) = \sqrt{x(1+x)} + x$。于是 $$ b = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1+x) + \sqrt{x(1+x)} + x}{\sqrt{x(1+x)} + x}. $$ 分子可化简为$2x+1+\sqrt{x(1+x)}$。当$x \to +\infty$时，分子和分母的主要项均为$\sqrt{x^2}=x$量级。将分子分母同时除以$x$： $$ b = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{x(1+x)}{x^2}}}{\sqrt{\frac{x(1+x)}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}. $$ 当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to 1$，因此 $$ b = \frac{2 + 0 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}. $$ 所以斜渐近线的截距$b = \frac{3}{2}$。

本步骤的目标是将$b$的表达式进行通分并化简，得到便于求极限的形式。已知$b$的表达式为： $$b = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}} - x \right]$$ 首先，将$x$写为分母为$\sqrt{x}$的形式： $$x = \frac{x \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{3/2}}{\sqrt{x}}$$ 因此，原式可化为： $$b = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}} - \frac{x^{3/2}}{\sqrt{x}} \right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1+x)^{3/2} - x^{3/2}}{\sqrt{x}}$$ 至此，$b$的表达式已化简为分式形式。接下来，为了处理分子中的$(1+x)^{3/2} - x^{3/2}$，我们考虑使用分子有理化的方法。注意到$(1+x)^{3/2} = (1+x)\sqrt{1+x}$，$x^{3/2}=x\sqrt{x}$，但直接相减不易处理。更有效的方法是引入共轭表达式： 令$A = (1+x)^{3/2}$，$B = x^{3/2}$，则$A - B = \frac{A^2 - B^2}{A + B}$。计算： $$A^2 = (1+x)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$ $$B^2 = x^3$$ 所以： $$A^2 - B^2 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$$ 而$A + B = (1+x)^{3/2} + x^{3/2}$。因此： $$(1+x)^{3/2} - x^{3/2} = \frac{3x^2 + 3x + 1}{(1+x)^{3/2} + x^{3/2}}$$ 代入$b$的表达式： $$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3x^2 + 3x + 1}{(1+x)^{3/2} + x^{3/2}}$$ 进一步化简，分子分母同除以$x^2$（注意$x^{3/2} = x \cdot \sqrt{x}$）： $$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{\sqrt{x} \cdot \left[ (1+x)^{3/2} + x^{3/2} \right] / x^2}$$ 但更直接的方法是观察分母中$(1+x)^{3/2} + x^{3/2}$的阶数。当$x \to +\infty$时，$(1+x)^{3/2} \sim x^{3/2}$，所以分母$\sim 2x^{3/2}$，分子$\sim 3x^2$，因此整个分式$\sim \frac{3x^2}{2x^{3/2} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3}{2}$。具体计算将在下一步进行。

为了求出极限 $b = \lim_{x \to \infty} x\left[(1+\frac{1}{x})^{3/2} - 1\right]$，我们进行变量代换。令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。同时，$x = \frac{1}{t}$。代入原极限表达式得： $$ b = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left[(1+t)^{3/2} - 1\right] = \lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^{3/2} - 1}{t}. $$ 现在，我们利用等价无穷小来求这个极限。回忆等价无穷小公式：当 $u \to 0$ 时，$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$。这里，$u = t$，$\alpha = \frac{3}{2}$，因此当 $t \to 0$ 时，有 $$ (1+t)^{3/2} - 1 \sim \frac{3}{2} t. $$ 将等价无穷小代入极限式，得到： $$ b = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{3}{2} t}{t} = \frac{3}{2}. $$ 所以，极限值为 $b = \frac{3}{2}$。

在之前的步骤中，我们已经求得了斜渐近线的斜率 $k=1$ 和截距 $b=\frac{3}{2}$。斜渐近线的一般形式为 $y=kx+b$，因此将 $k=1$ 和 $b=\frac{3}{2}$ 代入，得到斜渐近线方程为： $$ y = 1 \cdot x + \frac{3}{2} = x + \frac{3}{2}. $$ 为了验证结果的正确性，我们可以检查当 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，函数 $f(x)$ 与直线 $y=x+\frac{3}{2}$ 的差是否趋于 $0$。设 $f(x)$ 为原函数，则 $$ \lim_{x \to \infty} \left[ f(x) - (x + \frac{3}{2}) \right] = 0, $$ 这符合斜渐近线的定义。因此，所求斜渐近线方程为 $y = x + \frac{3}{2}$。 最终答案：$y = x + \frac{3}{2}$。