2005年考研数学二第8题

选项（B）的表述为：“若$f(x)$是偶函数，则$F(x)$是奇函数”，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。我们需要判断该命题是否正确。 构造反例：取$f(x)=3x^2$，显然$f(-x)=3(-x)^2=3x^2=f(x)$，故$f(x)$是偶函数。$f(x)$的一个原函数为$F(x)=x^3+C$，其中$C$为任意常数。 当$C=0$时，$F(x)=x^3$，满足$F(-x)=(-x)^3=-x^3=-F(x)$，此时$F(x)$是奇函数。但当$C\neq0$时，例如取$C=1$，则$F(x)=x^3+1$。计算$F(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1$，而$-F(x)=-(x^3+1)=-x^3-1$，显然$F(-x)\neq -F(x)$，因此$F(x)$不是奇函数。 由于原函数$F(x)$可以加上任意常数，而奇函数要求$F(0)=0$，但偶函数的原函数不一定满足$F(0)=0$，因此命题不成立。故选项（B）错误。

选项（C）的表述为：“若$f(x)$是周期函数，则$F(x)$也是周期函数”。我们需要判断这一命题是否正确。 构造反例：取$f(x)=\cos x-1$。显然，$\cos x$是周期为$2\pi$的函数，常数$-1$也是周期函数（任何正数都是其周期），因此$f(x)=\cos x-1$是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。 计算$f(x)$的一个原函数： $$F(x)=\int (\cos x-1)\,dx = \sin x - x + C,$$ 其中$C$为任意常数。 考察$F(x)$的周期性：对于任意实数$x$， $$F(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)-(x+2\pi)+C = \sin x - x - 2\pi + C = F(x) - 2\pi.$$ 要使$F(x+2\pi)=F(x)$对所有$x$成立，必须$-2\pi=0$，这不可能。因此$F(x)$不是周期函数。 这个反例说明：周期函数的原函数不一定具有周期性。事实上，只有当周期函数在一个周期上的积分为零时，其原函数才可能是周期函数。而这里$\int_0^{2\pi}(\cos x-1)\,dx = [\sin x - x]_0^{2\pi} = -2\pi \neq 0$，所以原函数不是周期函数。 因此，选项（C）是错误的。

分析选项（D）：若$f(x)$是单调增函数，则其原函数$F(x)$也是单调增函数。 为了判断该命题的正确性，我们尝试构造反例。取$f(x)=2x$，显然$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是单调增函数（因为导数$f'(x)=2>0$）。$f(x)$的一个原函数为$F(x)=x^2+C$（$C$为任意常数）。考察$F(x)=x^2$的单调性：当$x<0$时，$F'(x)=2x<0$，$F(x)$单调递减；当$x>0$时，$F'(x)=2x>0$，$F(x)$单调递增。因此$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上不是单调函数（它在$x=0$处由减变增，整体非单调）。 这个反例说明：即使$f(x)$是单调增函数，其原函数$F(x)$也不一定是单调增函数。事实上，原函数的单调性不仅取决于$f(x)$的单调性，还取决于$f(x)$的符号。由$F'(x)=f(x)$可知，$F(x)$单调递增当且仅当$f(x)\ge0$（且不恒为零），而$f(x)$单调增并不能保证$f(x)\ge0$恒成立。例如$f(x)=2x$在$x<0$时取负值，导致$F(x)$在$x<0$时递减。因此选项（D）错误。

我们需要验证选项（A）的正确性。选项（A）的表述为：设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，则$f(x)$为奇函数的充要条件是它的原函数$F(x)=\int_a^x f(t)dt$（其中$a$为任意常数）为偶函数。下面分两步证明。 **充分性：** 若$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$。取$F(x)=\int_a^x f(t)dt$，考虑$F(-x)$： $$F(-x)=\int_a^{-x} f(t)dt.$$ 令$t=-u$，则$dt=-du$，当$t=a$时$u=-a$，当$t=-x$时$u=x$，于是 $$F(-x)=\int_{-a}^{x} f(-u)(-du)=\int_{-a}^{x} -f(u)(-du)=\int_{-a}^{x} f(u)du.$$ 因此 $$F(-x)=\int_{-a}^{x} f(u)du=\int_{-a}^{a} f(u)du+\int_{a}^{x} f(u)du.$$ 由于$f$是奇函数，$\int_{-a}^{a} f(u)du=0$，故$F(-x)=\int_{a}^{x} f(u)du=F(x)$，即$F(x)$为偶函数。 **必要性：** 若$F(x)=\int_a^x f(t)dt$是偶函数，即$F(-x)=F(x)$。两边对$x$求导，左边导数为$F'(-x)\cdot(-1)=-f(-x)$，右边导数为$f(x)$，所以$-f(-x)=f(x)$，即$f(-x)=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。 综上，选项（A）正确。