2005年考研数学二第9题

已知参数方程 $x = t^2 + 2t$，且由题目条件知 $x = 3$。将 $x = 3$ 代入方程得： $$t^2 + 2t = 3$$ 移项化为标准一元二次方程： $$t^2 + 2t - 3 = 0$$ 对方程左边进行因式分解，寻找两个数乘积为 $-3$，和为 $2$，易得 $3$ 和 $-1$，因此： $$(t + 3)(t - 1) = 0$$ 解得两个根：$t_1 = -3$，$t_2 = 1$。 根据题目隐含条件（通常参数 $t$ 代表时间或特定范围，需结合后续步骤中 $y$ 的表达式或实际意义判断），此处需舍去 $t = -3$，保留 $t = 1$。因此参数 $t$ 的值为 $1$。

已知参数方程 $x = 1 + t^2$，$y = \ln(1 + t)$，且由第1步已求得 $t = 1$。 现在需要求对应点的 $y$ 坐标。将 $t = 1$ 代入 $y = \ln(1 + t)$： $$y = \ln(1 + 1) = \ln 2$$ 因此，对应点的纵坐标为 $\ln 2$。 同时，由第1步已知 $x = 1 + 1^2 = 2$，但题目中给出的切点坐标为 $(3, \ln 2)$，这里需要说明：实际上 $x = 1 + t^2$ 在 $t=1$ 时得 $x=2$，但题目步骤概要中写的是 $x=3$，可能是题目中参数方程或 $t$ 值有误。根据标准计算，正确结果为 $x=2$，$y=\ln 2$。 因此，对应点的坐标为 $(2, \ln 2)$。

已知曲线的参数方程为 $x = t^2 + 2t$，$y = \ln(1 + t)$，需要求在 $t = 1$ 对应点处的切线斜率。切线斜率即为导数 $\frac{dy}{dx}$ 在该点的值。由于参数方程中 $x$ 和 $y$ 都是关于参数 $t$ 的函数，不能直接对 $x$ 求导，而应使用参数方程求导公式： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$ 首先计算 $\frac{dy}{dt}$。由 $y = \ln(1 + t)$，根据对数函数求导法则，得 $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1 + t}$$ 接着计算 $\frac{dx}{dt}$。由 $x = t^2 + 2t$，根据幂函数和线性函数求导法则，得 $$\frac{dx}{dt} = 2t + 2 = 2(t + 1)$$ 将两者代入公式： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{1 + t}}{2(t + 1)} = \frac{1}{(1 + t) \cdot 2(t + 1)} = \frac{1}{2(t + 1)^2}$$ 注意 $1 + t = t + 1$，因此分母为 $2(t + 1)^2$。现在代入 $t = 1$： $$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \frac{1}{2(1 + 1)^2} = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$$ 因此，曲线在 $t = 1$ 对应点处的切线斜率为 $\frac{1}{8}$。

已知切线斜率为 $k_{\text{切}} = \frac{1}{8}$，法线斜率是切线斜率的负倒数，即 $k_{\text{法}} = -\frac{1}{k_{\text{切}}} = -\frac{1}{\frac{1}{8}} = -8$。 切点坐标为 $(3, \ln 2)$，法线过该点且斜率为 $-8$，利用点斜式方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 可得法线方程为： $$y - \ln 2 = -8(x - 3)$$ 整理得： $$y = -8x + 24 + \ln 2$$ 因此法线方程为 $y - \ln 2 = -8(x - 3)$ 或 $y = -8x + 24 + \ln 2$。

已知法线方程为 $y = -8\left(x - 3 - \frac{1}{8}\ln 2\right)$。要求法线与 $x$ 轴的交点横坐标，只需令 $y = 0$，解出 $x$ 的值。 将 $y = 0$ 代入法线方程： $$0 = -8\left(x - 3 - \frac{1}{8}\ln 2\right)$$ 两边同时除以 $-8$（注意 $-8 \neq 0$），得： $$0 = x - 3 - \frac{1}{8}\ln 2$$ 移项，解得： $$x = 3 + \frac{1}{8}\ln 2$$ 因此，法线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $3 + \frac{1}{8}\ln 2$。 **最终答案验证**：将 $x = 3 + \frac{1}{8}\ln 2$ 代入法线方程，计算 $y$ 值： $$y = -8\left(\left(3 + \frac{1}{8}\ln 2\right) - 3 - \frac{1}{8}\ln 2\right) = -8 \times 0 = 0$$ 结果正确，说明该点确实在 $x$ 轴上。