2006年考研数学一第1题

首先，分析极限表达式中的各个部分。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x)$ 和 $1-\cos x$ 都是无穷小量。根据等价无穷小替换公式： - $\ln(1+x) \sim x$ （当 $x \to 0$） - $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ （当 $x \to 0$） 因此，在极限运算中，可以将 $\ln(1+x)$ 替换为 $x$，将 $1-\cos x$ 替换为 $\frac{x^2}{2}$。注意，这种替换只适用于乘除因子，且要求替换后的表达式与原表达式在极限过程中是等价的。 原极限表达式为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \ln(1+x)}{1-\cos x} $$ 应用等价替换后，得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} $$ 化简分母：$\frac{x^2}{2}$ 的倒数为 $\frac{2}{x^2}$，所以： $$ \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = x^2 \cdot \frac{2}{x^2} = 2 $$ 因此，经过等价替换和化简后，极限值变为常数 $2$。注意，这一步只是初步替换和化简，后续步骤需要验证替换的合理性并给出最终答案。

将第一步得到的等价无穷小替换结果代入原极限表达式： 原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(1+x)}{1 - \cos x}$。 第一步中，当 $x \to 0$ 时，有 $\ln(1+x) \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。 因此，替换后得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}. $$ 接下来进行化简： $$ \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = x^2 \cdot \frac{2}{x^2} = 2. $$ 注意，这里 $x^2$ 在 $x \to 0$ 时不为零（仅极限过程中 $x \neq 0$），所以可以直接约分。 于是极限化为： $$ \lim_{x \to 0} 2 = 2. $$ 至此，表达式已化简为常数 $2$，下一步即可直接得出极限结果。

经过前两步的化简，原极限表达式已化为 $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2}$。由于 $x \neq 0$（在极限过程中 $x$ 趋近于0但不等于0），我们可以直接约去分子分母中的公因子 $x^2$，得到 $\lim_{x \to 0} 2$。此时极限符号内的函数为常数函数 $2$，常数函数的极限值等于该常数本身，因此极限值为 $2$。 最终答案为 $\boxed{2}$。 验证：将 $x=0$ 代入原函数（注意原函数在 $x=0$ 处无定义，但极限考察的是邻域内的趋势），通过等价无穷小替换和化简，结果一致。例如，取 $x=0.001$，原式近似为 $\frac{2 \times (0.001)^2}{(0.001)^2} = 2$，数值验证正确。