$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 是雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，由 $P\{\max \{X, Y\} \leqslant 1\}=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $x$ 在点 $x_{0}$ 处的增量，$\Delta y$与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x\gt 0$ ，则（ ）
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则 $\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于（
若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数（ ）
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ 。已知 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y) =0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ \boldsymbol{0} & 11 & 0 \\ \boldsymbol{0} & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $(\quad)$
设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(B)\gt 0, P(A \mid B)=1$ ，则必有（） $(\mathrm{A}) P(A \cup B)\gt P(A)$ ． $(\mathrm{C}) P(A \cup B)=P(A)$ ．
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，且 $$ P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right\}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right\}, $$ 则必有
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D} \displaystyle\frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0\lt x_{1}\lt\pi, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ． （I）证明 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限； （II）计算 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\displaystyle\frac{1}{x_{n}^{2}}}$ ．
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ． （ I ）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\displaystyle\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$ ； （II）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式．
设在上半平面 $D=\{(x, y) \mid y\gt 0\}$ 内，函数 $f(x, y)$ 具有连续偏导数，且对任意的 $t\gt 0$ 都有 $f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$. 证明：对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0$ ．
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解． （I）证明方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ； （II）求 $a, b$ 的值及方程组的通解。
设3阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为3。向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的两个解。 （I）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量； （II）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0\lt x\lt 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0\lt\theta\lt 1) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数．求 $\theta$ 的最大似然估计．