2006年考研数学一第4题

首先，我们需要明确点到平面距离的定义：设平面 $\Pi$ 的方程为 $Ax+By+Cz+D=0$，其中 $A,B,C$ 不全为零。给定平面外一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，点 $P_0$ 到平面 $\Pi$ 的距离 $d$ 定义为点 $P_0$ 到平面 $\Pi$ 上任意一点的最短距离，即垂线段的长度。 推导过程如下：在平面 $\Pi$ 上任取一点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，则 $P_1$ 满足 $Ax_1+By_1+Cz_1+D=0$。平面 $\Pi$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$。点 $P_0$ 到平面 $\Pi$ 的距离等于向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影的绝对值，即 $$d = \left| \frac{\overrightarrow{P_1P_0} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ 由于 $Ax_1+By_1+Cz_1 = -D$，代入分子得 $$|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)| = |Ax_0+By_0+Cz_0 - (Ax_1+By_1+Cz_1)| = |Ax_0+By_0+Cz_0 + D|.$$ 因此，点到平面的距离公式为 $$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ 注意：公式中的绝对值保证了距离的非负性；分母 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 是法向量的模长。当点 $P_0$ 在平面上时，分子为零，距离为零。

本步骤的目标是代入已知数值计算点 $(2,1,0)$ 到平面 $3x+4y+5z=0$ 的距离。首先，回忆点到平面的距离公式：对于平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 和点 $(x_0,y_0,z_0)$，距离 $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。本题中平面方程为 $3x+4y+5z=0$，因此 $A=3$，$B=4$，$C=5$，$D=0$。点坐标为 $(2,1,0)$，即 $x_0=2$，$y_0=1$，$z_0=0$。代入公式得：分子为 $|3\times2+4\times1+5\times0+0| = |6+4+0| = |10| = 10$。分母为 $\sqrt{3^2+4^2+5^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50}$。因此 $d = \frac{10}{\sqrt{50}}$。化简该表达式：$\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt{2}$，所以 $d = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。最终结果为 $d = \sqrt{2}$。验证：将 $\sqrt{2}$ 代入原公式检验，$\frac{10}{\sqrt{50}} = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，计算正确。因此，点 $(2,1,0)$ 到平面 $3x+4y+5z=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$。