2006年考研数学一第5题

已知矩阵方程 $BA = B + 2E$，其中 $A$、$B$ 均为 $n$ 阶方阵，$E$ 为单位矩阵。我们的目标是将方程变形为便于求解 $B$ 的形式。首先，将方程右边的 $B$ 项移到左边，得到 $BA - B = 2E$。观察左边两项，它们都含有矩阵 $B$，因此可以提取公因子 $B$。注意矩阵乘法不满足交换律，提取公因子时必须保持乘法顺序：$BA - B = B(A - E)$。这是因为 $B$ 左乘 $(A - E)$ 得到 $B(A - E) = BA - BE = BA - B$。于是原方程化为 $B(A - E) = 2E$。这一变形将原方程转化为一个标准形式，即矩阵 $B$ 与矩阵 $(A - E)$ 的乘积等于 $2E$，为后续求解 $B$ 奠定了基础。

已知上一步得到矩阵方程 $B(A-E)=2E$，其中 $A$、$B$ 均为2阶方阵，$E$ 为2阶单位矩阵。为了利用行列式的性质求解未知矩阵的行列式，我们对等式两边同时取行列式。 对等式左边 $B(A-E)$ 取行列式，由行列式的乘法性质 $|XY| = |X| \cdot |Y|$（当 $X$、$Y$ 为同阶方阵时成立），可得 $|B(A-E)| = |B| \cdot |A-E|$。 对等式右边 $2E$ 取行列式。注意 $2E$ 表示将单位矩阵 $E$ 的每个元素乘以2，即 $2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。对于 $n$ 阶方阵，数乘行列式的性质为 $|kA| = k^n |A|$，这里 $n=2$，$k=2$，$|E|=1$，因此 $|2E| = 2^2 \cdot |E| = 4 \times 1 = 4$。 于是得到等式： $$ |B| \cdot |A-E| = 4. $$ 这一步将矩阵方程转化为关于行列式的数值方程，为后续求解 $|B|$ 或 $|A-E|$ 提供了基础。注意，这里要求 $|A-E| \neq 0$，否则无法直接得到 $|B|$ 的值，但题目条件隐含了可逆性，后续步骤会进一步处理。

首先，根据前一步骤已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，单位矩阵 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $A - E$： $$A - E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-0 \\ -1-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 接下来，计算矩阵 $A - E$ 的行列式。对于二阶矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式为 $ad - bc$。代入 $a=1,\, b=1,\, c=-1,\, d=1$，得： $$\det(A - E) = 1 \times 1 - 1 \times (-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.$$ 因此，$A - E$ 的行列式值为 $2$。

由前一步得到的方程 $|B| \cdot 2 = 4$，我们需要求解行列式 $|B|$。 方程两边同时除以2（注意 $2 \neq 0$，除法合法），得到： $$ |B| = \frac{4}{2} = 2. $$ 因此，矩阵 $B$ 的行列式值为 $2$。 **验证**：将 $|B| = 2$ 代回原方程 $|B| \cdot 2 = 4$，左边 $2 \times 2 = 4$，右边 $4$，等式成立，结果正确。 最终答案：$|B| = 2$。