2006年考研数学一第6题

题目要求计算概率 $P\{\max(X,Y) \leq 1\}$。首先理解事件的含义：随机变量 $X$ 和 $Y$ 的最大值不超过 1。最大值不超过 1 意味着两个变量中的较大者小于或等于 1，这等价于两个变量都小于或等于 1。因为如果其中任何一个大于 1，那么最大值就会大于 1。因此，事件 $\{\max(X,Y) \leq 1\}$ 与事件 $\{X \leq 1 \text{ 且 } Y \leq 1\}$ 是完全相同的。于是有： $$ P\{\max(X,Y) \leq 1\} = P\{X \leq 1, Y \leq 1\}. $$ 这一步将原问题转化为求二维随机变量 $(X,Y)$ 落在区域 $(-\infty, 1] \times (-\infty, 1]$ 上的概率，为后续利用联合分布函数或密度函数进行计算奠定了基础。

根据题目条件，随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从区间 $(0,3)$ 上的均匀分布，记作 $X \sim U(0,3)$，$Y \sim U(0,3)$。对于连续型均匀分布 $U(a,b)$，其概率密度函数（PDF）的一般形式为： $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 这里 $a=0$，$b=3$，因此 $b-a = 3-0 = 3$，所以概率密度函数为： $$ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 0 < x < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 同理，$Y$ 的概率密度函数为： $$ f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 0 < y < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立（题目未明确说明，但通常此类问题默认独立，且后续步骤需要用到独立性），联合概率密度函数为边缘概率密度函数的乘积： $$ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{9}, & 0 < x < 3, \; 0 < y < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 该联合密度函数在正方形区域 $(0,3)\times(0,3)$ 上为常数 $\frac{1}{9}$，面积为 $9$，积分为 $1$，满足概率密度函数的归一性。

由题目已知，随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，即 $X \sim U(0,3)$，$Y \sim U(0,3)$。均匀分布的概率密度函数为： $$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 \le x \le 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ $$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 \le y \le 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 现在计算 $P\{X \le 1\}$。根据概率密度函数的定义，概率等于密度函数在区间上的积分： $$P\{X \le 1\} = \int_{-\infty}^{1} f_X(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx$$ 计算该定积分： $$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{3}$$ 因此 $P\{X \le 1\} = \frac{1}{3}$。 同理，由于 $Y$ 与 $X$ 同分布，$P\{Y \le 1\}$ 的计算完全相同： $$P\{Y \le 1\} = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3}$$ 所以 $P\{X \le 1\} = \frac{1}{3}$，$P\{Y \le 1\} = \frac{1}{3}$。这两个概率将在后续步骤中用于计算联合事件的概率。

在前面的步骤中，我们已经分别求出了两个独立事件发生的概率，每个事件的概率均为 $\frac{1}{3}$。由于这两个事件相互独立，根据概率的乘法公式，它们同时发生的概率等于各自概率的乘积。因此，最终概率为： $$ P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}. $$ 为了验证结果的正确性，我们可以从概率的基本性质出发进行检验。首先，$\frac{1}{9}$ 是一个介于0和1之间的数，符合概率的取值范围。其次，由于每个事件发生的概率 $\frac{1}{3}$ 是通过合理的古典概型或几何概型计算得到的，且独立性条件成立，因此乘积结果合理。 另外，我们也可以考虑用枚举法或树形图来辅助验证：假设两个独立试验各有3种等可能的结果，则总共有 $3 \times 3 = 9$ 种等可能的组合，其中只有一种组合对应两个事件同时发生，所以概率为 $\frac{1}{9}$，与计算结果一致。 至此，整个问题的求解过程完成，最终答案为 $\frac{1}{9}$。