💡 答案解析
**答案**: （A）。
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**解析**:
方法一
$\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x, \quad \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(\xi) \Delta x(x\lt \xi\lt x+\Delta x)$,
因为 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，于是 $0\lt f^{\prime}(x)\lt f^{\prime}(\xi)$ ．
再由 $\Delta x\gt 0$ ，得 $0\lt f^{\prime}(x) \Delta x\lt f^{\prime}(\xi) \Delta x$ ，即 $0\lt \mathrm{d} y\lt \Delta y$ ，应选（A）。
方法二 由泰勒公式得
$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\displaystyle\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_{0}$ 与 $x$ 之间，
因为 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $f(x)-f\left(x_{0}\right) \geqslant f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ，等号成立当且仅当 $x=x_{0}$ ，故 $\Delta y \geqslant \mathrm{~d} y$ ．
因为 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)\gt 0, \Delta x=x-x_{0}\gt 0$ ，所以 $\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\gt 0$ ，于是 $\Delta y\gt \mathrm{d} y\gt 0$ ，应选（A）。
方法三 $\quad \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}(\xi) \Delta x\left(x_{0}\lt \xi\lt x_{0}+\Delta x\right)$,
则 $\Delta y-\mathrm{d} y=\left[f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right] \Delta x$
$$
=f^{\prime \prime}(\eta)\left(\xi-x_{0}\right) \Delta x\left(x_{0}\lt \eta\lt \xi\right),
$$
由 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 得 $\Delta y-\mathrm{d} y\gt 0$ ，即 $\Delta y\gt \mathrm{d} y$ ，又 $\mathrm{d} y\gt 0$ ，
故 $\Delta y\gt \mathrm{d} y\gt 0$ ，应选（A）。
方法四 因为 $f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，所以 $y=f(x)$ 为单调增加的凹函数，如图所示，
因为 $\Delta x\gt 0$ ，所以 $\mathrm{d} y=|B C|\gt 0, \Delta y=|B D|\gt |B C|$ ，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：明确已知条件与待比较量
首先，我们明确题目中给出的已知条件：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有一阶导数 $f'(x_0)$ 和二阶导数 $f''(x_0)$，并且已知 $f'(x_0) > 0$，$f''(x_0) > 0$。此外，给定一个正的增量 $\Delta x > 0$。我们需要比较两个量：微分 $dy = f'(x_0) \Delta x$ 与函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 的大小关系以及它们的符号。
根据微分的定义，$dy$ 是函数在 $x_0$ 处切线纵坐标的增量，而 $\Delta y$ 是函数本身的增量。由于 $f'(x_0) > 0$，函数在 $x_0$ 处单调递增，因此当 $\Delta x > 0$ 时，$\Delta y > 0$。同时，$dy = f'(x_0) \Delta x > 0$，所以两者均为正数。
接下来，我们利用二阶导数的信息。由 $f''(x_0) > 0$ 可知，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近是凸函数（下凸）。对于凸函数，其图像位于切线的上方（当 $\Delta x \neq 0$ 时）。因此，对于 $\Delta x > 0$，有 $f(x_0 + \Delta x) > f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$，即 $\Delta y > dy$。
综上，已知条件为：$f'(x_0) > 0$，$f''(x_0) > 0$，$\Delta x > 0$；待比较量为 $dy$ 与 $\Delta y$，两者均为正，且 $\Delta y > dy$。
公式：dy = f'(x_0) \Delta x, \quad \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)
提示：利用二阶导数判断凹凸性，凸函数图像在切线上方。
目标：利用中值定理表示Δy
为了将函数增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 与导数联系起来，我们应用拉格朗日中值定理。该定理指出：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[x_0, x_0 + \Delta x]$ 上连续，在开区间 $(x_0, x_0 + \Delta x)$ 内可导，则存在一点 $\xi \in (x_0, x_0 + \Delta x)$，使得
$$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(\xi).$$
将上式两边乘以 $\Delta x$，即得
$$\Delta y = f'(\xi) \Delta x,$$
其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0 + \Delta x$ 之间。这一表达式将函数增量表示为某点导数值与自变量增量的乘积，为后续的近似计算和误差分析奠定了基础。注意，$\xi$ 的具体位置未知，但我们可以利用 $\xi$ 与 $x_0$ 的关系（例如 $\xi = x_0 + \theta \Delta x$，$0<\theta<1$）进行进一步处理。
公式：$$\Delta y = f'(\xi) \Delta x, \quad \xi \in (x_0, x_0+\Delta x)$$
提示：注意中值点ξ依赖于Δx，且介于端点之间。
目标：利用二阶导数正性判断导数单调性
由题目条件已知，函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上具有二阶导数，且 $f''(x) > 0$ 对一切 $x \in (a,b)$ 成立。根据微积分基本定理，若一个函数的二阶导数恒大于零，则其一阶导函数 $f'(x)$ 在区间上严格单调递增。这是因为导数 $f'(x)$ 的导数即为 $f''(x)$，而 $f''(x) > 0$ 意味着 $f'(x)$ 的斜率处处为正，从而 $f'(x)$ 是严格递增函数。
现在考虑区间 $[x_0, \xi]$，其中 $x_0$ 与 $\xi$ 满足 $x_0 < \xi$（具体位置由前两步确定）。由于 $f'(x)$ 在 $[x_0, \xi]$ 上严格单调递增，因此对于区间内任意两点，自变量较大的点对应的导数值也较大。特别地，因为 $x_0 < \xi$，所以有 $f'(x_0) < f'(\xi)$。
这一不等式是后续步骤中构造拉格朗日中值定理或进行积分比较的关键依据。它表明在区间左端点处的导数小于右端点处的导数，从而可以进一步推导出函数增量与导数之间的关系。
公式：由 $f''(x) > 0$ 得 $f'(x)$ 严格递增，故 $x_0 < \xi \Rightarrow f'(x_0) < f'(\xi)$
提示：牢记：二阶导大于零说明一阶导递增，自变量越大导数值越大。
目标：比较dy与Δy的大小
已知函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0)>0$，自变量增量$\Delta x>0$。由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(x_0, x_0+\Delta x)$，使得函数增量$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = f'(\xi)\Delta x$。而函数的微分$dy = f'(x_0)\Delta x$。
由于$f'(x)$在$x_0$处连续且$f'(x_0)>0$，在$x_0$的某邻域内$f'(x)>0$。又因为$\xi$在$x_0$与$x_0+\Delta x$之间，且$\Delta x>0$，故$\xi > x_0$。根据题目条件（或由导数的单调性假设），有$f'(\xi) > f'(x_0)$。
将不等式$f'(x_0) < f'(\xi)$两边同时乘以正数$\Delta x$，不等号方向不变，得到：
$$f'(x_0)\Delta x < f'(\xi)\Delta x$$
即
$$dy < \Delta y$$
因此，当$\Delta x>0$时，函数的微分$dy$小于函数的增量$\Delta y$。这一结论表明，在自变量增加的情况下，用微分近似增量会得到偏小的估计值。
公式：$$dy = f'(x_0)\Delta x,\quad \Delta y = f'(\xi)\Delta x,\quad dy < \Delta y$$
提示：利用拉格朗日中值定理将$\Delta y$表示为导数乘$\Delta x$，再比较导数大小即可。