2006年考研数学一第3题

题目中给出的曲面 $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 被平面 $z = 1$ 截下的部分（取下侧）。为了应用高斯公式，需要将 $\Sigma$ 与一个辅助平面 $\Sigma_0$ 共同构成一个封闭曲面，并取外侧方向。 首先，确定锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 与平面 $z = 1$ 的交线：令 $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$，得 $x^2 + y^2 = 1$，即交线为平面 $z = 1$ 上的单位圆。因此，$\Sigma$ 的边界是该单位圆周。 现在补充平面 $\Sigma_0: z = 1$，且限制在 $x^2 + y^2 \leq 1$ 的圆盘内。为了使整个封闭曲面的方向为外侧，需要确定 $\Sigma_0$ 的侧向。由于 $\Sigma$ 取下侧（即锥面的内侧指向下方），而封闭曲面外侧应指向曲面外部，因此 $\Sigma_0$ 应取上侧（法向量向上）。这样，$\Sigma$ 的下侧与 $\Sigma_0$ 的上侧共同围成一个封闭区域 $\Omega$，其边界曲面 $\partial\Omega = \Sigma + \Sigma_0$，方向为外侧。 该封闭区域 $\Omega$ 是一个圆锥体：底面是 $z=1$ 上的单位圆盘，侧面是锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$（$0 \leq z \leq 1$）。在后续步骤中，将利用高斯公式将曲面积分转化为三重积分，再减去 $\Sigma_0$ 上的积分得到原积分。

对封闭曲面 $\Sigma + \Sigma_0$ 应用高斯公式。高斯公式将封闭曲面的第二类曲面积分转化为该曲面所围区域上的三重积分： $$\iint_{\Sigma+\Sigma_0} (P,Q,R) \cdot \mathbf{dS} = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V$$ 其中 $V$ 是由 $\Sigma$ 和 $\Sigma_0$ 所围成的空间区域。 由题目已知，向量场为 $(P,Q,R) = (x, 2y, 3(z-1))$。分别计算各分量的偏导数： $$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$ $$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2$$ $$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}[3(z-1)] = 3$$ 因此，被积函数的散度为： $$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 2 + 3 = 6$$ 于是，高斯公式给出： $$\iint_{\Sigma+\Sigma_0} (x, 2y, 3(z-1)) \cdot \mathbf{dS} = \iiint_{V} 6 \, \mathrm{d}V = 6 \iiint_{V} \mathrm{d}V$$ 这里 $\iiint_{V} \mathrm{d}V$ 正是区域 $V$ 的体积。$V$ 是由曲面 $\Sigma$（锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分）和底面 $\Sigma_0$（$z=1$ 上的圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1$）所围成的立体。该立体是一个圆锥体，底面半径为 $1$，高为 $1$，其体积为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$。 因此， $$\iint_{\Sigma+\Sigma_0} (x, 2y, 3(z-1)) \cdot \mathbf{dS} = 6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi$$ 至此，我们完成了对封闭曲面 $\Sigma+\Sigma_0$ 的曲面积分计算，结果为 $2\pi$。

本步骤的目标是计算三重积分 $\iiint_{\Omega} 6 \, dV$，其中积分区域 $\Omega$ 是由锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 与平面 $z = 1$ 所围成的锥体。采用“先二后一”法（即截面法）进行计算。\n\n首先，确定积分区域在 $z$ 方向上的范围：锥体的顶点在原点，底面在 $z=1$ 处，因此 $z$ 从 $0$ 到 $1$。对于固定的 $z \in [0,1]$，截面是圆盘：$x^2 + y^2 \leq z^2$，半径为 $z$。\n\n利用“先二后一”法，将三重积分化为先对 $x,y$ 积分（即计算截面面积），再对 $z$ 积分：\n$$\iiint_{\Omega} 6 \, dV = 6 \int_{0}^{1} dz \iint_{x^2+y^2 \leq z^2} dxdy.$$\n\n内层二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} dxdy$ 表示半径为 $z$ 的圆盘面积，其面积为 $\pi z^2$。因此：\n$$\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} dxdy = \pi z^2.$$\n\n代入得：\n$$6 \int_{0}^{1} \pi z^2 \, dz = 6\pi \int_{0}^{1} z^2 \, dz.$$\n\n计算定积分：\n$$\int_{0}^{1} z^2 \, dz = \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.$$\n\n因此：\n$$6\pi \cdot \frac{1}{3} = 2\pi.$$\n\n所以，三重积分的结果为 $2\pi$。

本步骤计算补充平面 $\Sigma_0$ 上的曲面积分。补充平面 $\Sigma_0$ 是曲面 $z=1$ 上被曲线 $\Gamma$ 所围的部分，方向取向上（即法向量与 $z$ 轴正方向成锐角）。在 $\Sigma_0$ 上，$z=1$ 为常数，因此 $dz=0$。将 $z=1$ 和 $dz=0$ 代入被积表达式 $x\,dy\,dz + 2y\,dz\,dx + 3(z-1)\,dx\,dy$ 中： 第一项 $x\,dy\,dz$ 中，由于 $dz=0$，该项为 $0$。 第二项 $2y\,dz\,dx$ 中，同样因为 $dz=0$，该项也为 $0$。 第三项 $3(z-1)\,dx\,dy$ 中，因为 $z=1$，所以 $z-1=0$，该项也为 $0$。 因此，被积表达式在 $\Sigma_0$ 上恒等于 $0$，故积分值为 $0$： $$\iint_{\Sigma_0} x\,dy\,dz + 2y\,dz\,dx + 3(z-1)\,dx\,dy = \iint_{\Sigma_0} 0\,dx\,dy = 0.$$ 这个结果说明补充平面上的积分贡献为零，从而原曲面积分等于曲面 $\Sigma$ 上的积分（由高斯公式计算的部分）减去 $\Sigma_0$ 上的积分（即 $0$），最终结果就是高斯公式计算得到的值。

根据高斯公式，我们已经计算了封闭曲面上的曲面积分： $$\iint_{\Sigma_1+\Sigma_2} \frac{x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = 2\pi.$$ 其中 $\Sigma_1$ 是原曲面 $z=2-x^2-y^2$ 在 $z\geq0$ 的部分，$\Sigma_2$ 是补充的平面 $z=0$ 上 $x^2+y^2\leq2$ 的部分（取下侧）。 接下来计算补充平面 $\Sigma_2$ 上的曲面积分。在 $\Sigma_2$ 上，$z=0$，且法向量指向下侧，因此 $dx\,dy$ 的符号为负（因为下侧对应 $dx\,dy = -dS$ 的投影）。被积函数中的分母 $(x^2+y^2+0)^{3/2} = (x^2+y^2)^{3/2}$。由于 $z=0$，分子中的 $z\,dx\,dy$ 项为零，而 $x\,dy\,dz$ 和 $y\,dz\,dx$ 在 $z=0$ 平面上，由于 $dz=0$，这两项也为零。因此整个被积函数在 $\Sigma_2$ 上恒为零，故 $$\iint_{\Sigma_2} \frac{x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = 0.$$ 原曲面积分 $I = \iint_{\Sigma_1}$ 等于封闭曲面积分减去补充平面上的积分： $$I = \iint_{\Sigma_1+\Sigma_2} - \iint_{\Sigma_2} = 2\pi - 0 = 2\pi.$$ 因此，原曲面积分的结果为 $2\pi$。验证：该结果与曲面的形状无关，仅取决于曲面所围区域是否包含原点。由于原曲面 $\Sigma_1$ 与平面 $z=0$ 围成的区域不包含原点（原点在平面 $z=0$ 下方，不在区域内），因此高斯公式适用，结果合理。