2006年考研数学一第10题

已知约束条件为 $\varphi(x,y)=0$，且在该条件下点 $(x_0,y_0)$ 是函数 $f(x,y)$ 的极值点。由隐函数存在定理，在 $(x_0,y_0)$ 附近，若 $\varphi_y(x_0,y_0) \neq 0$，则方程 $\varphi(x,y)=0$ 可唯一确定一个隐函数 $y=y(x)$，满足 $y_0=y(x_0)$。将 $y=y(x)$ 代入目标函数 $f(x,y)$，得到一元函数 $z(x)=f(x,y(x))$。此时，原条件极值问题转化为：求 $x_0$ 使得 $z(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极值。由于 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 在约束下的极值点，因此 $x_0$ 必为 $z(x)$ 的极值点，从而满足 $z'(x_0)=0$。利用复合函数求导法则，有 $z'(x)=f_x(x,y(x)) + f_y(x,y(x)) \cdot y'(x)$。在 $x=x_0$ 处，$z'(x_0)=f_x(x_0,y_0) + f_y(x_0,y_0) \cdot y'(x_0)=0$。同时，由隐函数求导公式，$y'(x_0) = -\frac{\varphi_x(x_0,y_0)}{\varphi_y(x_0,y_0)}$。代入上式即得 $f_x(x_0,y_0) - f_y(x_0,y_0) \cdot \frac{\varphi_x(x_0,y_0)}{\varphi_y(x_0,y_0)} = 0$，整理得 $\frac{f_x(x_0,y_0)}{\varphi_x(x_0,y_0)} = \frac{f_y(x_0,y_0)}{\varphi_y(x_0,y_0)}$，这正是拉格朗日乘数法中引入乘子 $\lambda$ 后得到的必要条件。因此，通过将条件极值转化为一元函数极值，我们得到了与拉格朗日乘数法等价的条件。

由第2步已得到一元函数 $z(x)=f(x,y(x))$，其中 $y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数。现在对 $z(x)$ 关于 $x$ 求导。根据多元复合函数求导法则（链式法则），有： $$z'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y(x))+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y(x))\cdot y'(x).$$ 记 $f_x'=\frac{\partial f}{\partial x}$，$f_y'=\frac{\partial f}{\partial y}$，则上式可写为： $$z'(x)=f_x'(x,y(x))+f_y'(x,y(x))\cdot y'(x).$$ 由于题目要求 $z(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极值，根据一元函数极值的必要条件（费马定理），若 $z(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则必有 $z'(x_0)=0$。将 $x=x_0$ 代入导数表达式，并记 $y_0=y(x_0)$，得到： $$z'(x_0)=f_x'(x_0,y_0)+f_y'(x_0,y_0)\cdot y'(x_0)=0.$$ 这就是极值条件。其中 $y'(x_0)$ 可由隐函数求导公式得到：由 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，得 $F_x'+F_y'\cdot y'=0$，故 $y'(x_0)=-\frac{F_x'(x_0,y_0)}{F_y'(x_0,y_0)}$（假设 $F_y'(x_0,y_0)\neq0$）。代入上式即可得到关于 $x_0,y_0$ 的关系式，为下一步求解具体数值做准备。

由隐函数存在定理，方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近确定隐函数 $y=y(x)$，且满足 $F(x,y(x))=0$。对 $x$ 求导得 $F_x'(x,y)+F_y'(x,y)\cdot y'(x)=0$。代入 $(x_0,y_0)$ 得 $F_x'(x_0,y_0)+F_y'(x_0,y_0)\cdot y'(x_0)=0$。 已知 $y'(x_0)=0$，则上式化为 $F_x'(x_0,y_0)=0$。但题目中 $f(x,y)$ 即为 $F(x,y)$，故 $f_x'(x_0,y_0)=0$。 现在分析选项： (A) $f_x'(x_0,y_0)=0$ 且 $f_y'(x_0,y_0)=0$：由上述推导，$f_x'=0$ 成立，但 $f_y'$ 不一定为0，故(A)不一定正确。 (B) $f_x'(x_0,y_0)=0$ 且 $f_y'(x_0,y_0)\neq0$：$f_x'=0$ 成立，但 $f_y'$ 可能为0也可能不为0，故(B)不一定正确。 (C) $f_x'(x_0,y_0)\neq0$ 且 $f_y'(x_0,y_0)=0$：若 $f_x'\neq0$，则由关系式 $f_x'+f_y'\cdot0=0$ 得 $f_x'=0$，矛盾，故(C)不可能成立。 (D) $f_x'(x_0,y_0)\neq0$ 且 $f_y'(x_0,y_0)\neq0$：若 $f_x'\neq0$，则 $f_y'$ 必须非零，否则左边等于 $f_x'\neq0$，与等式矛盾。因此(D)是唯一可能正确的选项。 验证：取反例，例如 $f(x,y)=x$，在点 $(0,0)$ 处 $f_x'=1\neq0$，$f_y'=0$，但此时方程 $x=0$ 不能确定隐函数 $y=y(x)$（因为 $f_y'=0$ 不满足隐函数定理条件），故排除(C)。而选项(D)满足隐函数定理条件，且由关系式可知 $f_x'$ 和 $f_y'$ 均非零时，$y'(x_0)=-f_x'/f_y'$ 可非零，但题目已给 $y'(x_0)=0$，故 $f_x'=0$，这与假设 $f_x'\neq0$ 矛盾，因此(D)实际上也不成立？ 重新审视：题目条件为“$y=y(x)$ 是由方程 $f(x,y)=0$ 确定的隐函数，且 $y'(x_0)=0$”，则必有 $f_x'(x_0,y_0)=0$。因此 $f_x'\neq0$ 不可能成立，故(C)和(D)均错误。但根据步骤概要，认为(D)正确，这需要结合隐函数存在条件：若 $f_x'\neq0$，则 $f_y'$ 必须非零，否则无法满足 $f_x'+f_y'\cdot0=0$。实际上，当 $y'(x_0)=0$ 时，$f_x'=0$ 是必然的，所以 $f_x'\neq0$ 的情况不可能出现。因此正确选项应为 $f_x'=0$ 且 $f_y'\neq0$，即选项(B)。 最终答案：选项(B)正确。