💡 答案解析
**答案**: （A）．
---
**解析**:
方法一 令 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right),\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ ，
则 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}) \leqslant r(\boldsymbol{Q})$ ．
若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $r(\boldsymbol{Q})\lt s$ ，于是 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right) \leqslant r(\boldsymbol{Q})\lt s$ 。
即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）。
方法二 若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha} s$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ ，使得
$$
k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0},
$$
等式两边左乘 $\boldsymbol{A}$ 得
$$
k_{1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0},
$$
由线性相关的定义得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：理解题意与选项
本题是2006年数学一第11题，题目给出已知条件：$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $m \times n$ 矩阵。四个选项分别讨论原向量组线性相关或无关时，变换后向量组 $A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$ 的线性相关性。
我们需要明确线性相关与线性无关的定义：一组向量 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 线性相关当且仅当存在不全为零的系数 $k_1,\dots,k_s$ 使得 $k_1\beta_1+\cdots+k_s\beta_s=0$；否则线性无关。
选项分析：
(A) 若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性相关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 也线性相关。
(B) 若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性相关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性无关。
(C) 若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 也线性无关。
(D) 若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性相关。
本题的关键在于理解矩阵乘法对向量组线性相关性的影响。若原向量组线性相关，存在不全为零的 $k_i$ 使 $\sum k_i\alpha_i=0$，左乘 $A$ 得 $\sum k_i A\alpha_i=0$，因此变换后向量组必然线性相关，故 (A) 正确。而 (B) 与 (A) 矛盾，显然错误。对于 (C) 和 (D)，原向量组线性无关时，变换后可能相关也可能无关，取决于 $A$ 是否列满秩，因此 (C)(D) 不一定成立。
本步骤的目标是理解题意，明确已知条件和四个选项的含义，为后续判断做准备。
公式：若 $\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i = 0$ 且 $k_i$ 不全为零，则 $\sum_{i=1}^s k_i (A\alpha_i) = A\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right)=0$
提示：牢记线性相关定义，左乘矩阵不改变系数关系，原相关则变换后必相关。
目标：分析原向量组线性相关的情况
假设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性相关。根据线性相关的定义，存在一组不全为零的常数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使得线性组合为零：
$$
\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i = 0.
$$
现在，对等式两边同时左乘矩阵 $A$，得到
$$
A\left(\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^{s} k_i (A\alpha_i) = 0.
$$
由于 $k_1,k_2,\dots,k_s$ 不全为零，因此向量组 $A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$ 也满足存在一组不全为零的常数使得其线性组合为零，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$ 线性相关。
由此可知，若原向量组线性相关，则左乘 $A$ 后的向量组也必然线性相关。因此选项（A）正确。
对于选项（B），它声称“若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性相关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性无关”，这与上述推导结论直接矛盾，故（B）错误。
注意：本步骤仅讨论原向量组线性相关的情形，并未涉及原向量组线性无关的情况，后者将在后续步骤中分析。
公式：\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{s} k_i (A\alpha_i) = 0
提示：线性相关经线性变换后仍保持相关，但无关不一定保持。
目标：分析原向量组线性无关的情况
考虑原向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性无关的情形。此时，变换后的向量组为 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵。我们需要判断变换后向量组的线性相关性。
设有一组系数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使得
$$k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 + \cdots + k_sA\alpha_s = 0.$$
由矩阵乘法的线性性质，上式等价于
$$A(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s) = 0.$$
记 $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s$，则 $A\beta = 0$，即 $\beta \in \ker(A)$。
由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta = 0$ 当且仅当所有 $k_i = 0$。但 $A\beta = 0$ 并不强制 $\beta = 0$，只要 $\beta$ 属于 $A$ 的零空间即可。因此，变换后的向量组线性相关当且仅当存在不全为零的 $k_i$ 使得 $\beta \neq 0$ 但 $A\beta = 0$，即存在非零向量 $\beta$ 同时属于 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 张成的子空间和 $\ker(A)$。
**具体例子：**
- 若 $A = 0$（零矩阵），则对任意 $\beta$ 都有 $A\beta = 0$。取 $\beta = \alpha_1 \neq 0$，则 $k_1=1, k_2=\cdots=k_s=0$ 给出非零组合，故变换后向量组全为零向量，线性相关。
- 若 $A = I$（单位矩阵），则 $A\beta = 0$ 仅当 $\beta = 0$，从而所有 $k_i = 0$，故变换后向量组线性无关。
因此，当原向量组线性无关时，变换后的向量组可能线性相关（例如 $A=0$），也可能线性无关（例如 $A=I$）。所以选项（C）“若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性无关”不一定成立；选项（D）“若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性相关”也不一定成立。
**关键结论：** 变换后向量组的线性相关性取决于矩阵 $A$ 是否列满秩（即 $\ker(A) = \{0\}$）。若 $A$ 列满秩，则线性无关的原像映射后仍线性无关；否则可能变为线性相关。
公式：$$A(k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s) = 0 \quad \text{且} \quad \beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s \in \ker(A)$$
提示：通过构造特殊矩阵（如零矩阵、单位矩阵）来检验命题是否成立。
目标：利用秩方法验证
令 $Q = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$ 为 $n \times s$ 矩阵，其列向量即为原向量组。则变换后的向量组 $(A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s)$ 可表示为矩阵乘积 $AQ$。
根据矩阵秩的性质，有 $\operatorname{rank}(AQ) \leq \operatorname{rank}(Q)$。
若原向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性相关，则其秩 $\operatorname{rank}(Q) < s$。于是 $\operatorname{rank}(AQ) \leq \operatorname{rank}(Q) < s$，即变换后向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, \dots, A\alpha_s$ 的秩也小于 $s$，因此它们线性相关。
这就证明了：若原向量组线性相关，则经线性变换 $A$ 作用后得到的向量组也线性相关。该结论与选项（A）的表述一致，从而进一步确认（A）正确。
注意：该推理并未用到 $A$ 的可逆性，仅依赖于矩阵乘法的秩不等式，因此（A）是普遍成立的。
公式：\operatorname{rank}(AQ) \leq \operatorname{rank}(Q)
提示：利用秩不等式快速判断线性相关性，无需具体计算。
目标：得出结论
综合前四步的分析，我们逐一验证了四个选项在给定条件下的正确性。
- 对于选项（A）：由前几步推导可知，无论矩阵$A$是否可逆，只要$A$满足$A^2 = A$（幂等矩阵），则必有$r(A) + r(E - A) = n$。这一结论来源于秩的恒等式$r(A) + r(E - A) = r(A) + r(E - A) = n$（当$A$为幂等矩阵时成立），且不依赖于$A$是否可逆。因此选项（A）在任何情况下都成立。
- 对于选项（B）：$r(A) + r(E - A) = n$并不等价于$r(A) = r(E - A)$。例如，若$A = O$（零矩阵），则$r(A)=0$，$r(E - A)=r(E)=n$，此时$r(A) + r(E - A)=n$成立，但$r(A) \neq r(E - A)$。故（B）不一定成立。
- 对于选项（C）：$r(A) + r(E - A) = n$也不意味着$r(A) = n$。例如，取$A = O$，则$r(A)=0$，$r(E - A)=n$，和式为$n$，但$r(A) \neq n$。故（C）不一定成立。
- 对于选项（D）：同样，$r(A) + r(E - A) = n$不保证$r(E - A) = n$。例如，取$A = E$，则$r(A)=n$，$r(E - A)=0$，和式为$n$，但$r(E - A) \neq n$。故（D）不一定成立。
因此，只有选项（A）是必然成立的结论。最终答案选（A）。
验证：设$A$为$n$阶幂等矩阵，即$A^2 = A$，则$A(E - A) = O$，且$E - A$也是幂等矩阵。由秩不等式$r(A) + r(E - A) \leq n$，以及$r(A) + r(E - A) \geq r(A + (E - A)) = r(E) = n$，可得$r(A) + r(E - A) = n$恒成立。该推导不依赖$A$是否可逆，故（A）正确。
公式：$$r(A) + r(E - A) = n \quad (\text{当 } A^2 = A \text{ 时恒成立})$$
提示：幂等矩阵的秩恒等式$r(A)+r(E-A)=n$是核心，不依赖可逆性。