2006年考研数学一第12题

已知矩阵 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，题目要求将 $A$ 的第2行加到第1行，这一行变换属于初等行变换中的“倍加变换”。根据矩阵乘法理论，对矩阵左乘一个初等矩阵可以实现相应的行变换。 设初等矩阵 $E_1$ 表示“将第2行加到第1行”的操作。由于 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，$E_1$ 应为 $3 \times 3$ 单位矩阵经过相同行变换后得到的矩阵。单位矩阵 $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，将第2行加到第1行，即第1行变为原第1行加上原第2行，第2、3行不变。因此 $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 验证：左乘 $E_1$ 后，$B = E_1 A$ 的第1行等于 $A$ 的第1行加上第2行，第2行等于 $A$ 的第2行，第3行等于 $A$ 的第3行，符合题目要求。 因此，该步骤的数学表示为：$B = E_1 A$，其中 $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

已知上一步得到 $B = E_1 A$，其中 $E_1$ 是初等行变换矩阵。本步要将 $B$ 的第1列的 $-1$ 倍加到第2列，这是一个初等列变换。对矩阵右乘一个初等矩阵可以实现列变换。 设初等矩阵 $E_2$ 表示“将第1列的 $-1$ 倍加到第2列”。对于 $3\times 3$ 矩阵，该初等矩阵为单位矩阵 $I_3$ 经过相同列变换得到：将 $I_3$ 的第1列的 $-1$ 倍加到第2列，即 $$ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 右乘 $E_2$ 的效果： $$ B E_2 = B \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 计算 $B E_2$ 时，结果矩阵的第1列等于 $B$ 的第1列，第2列等于 $B$ 的第2列减去第1列，第3列不变。这正是所要求的列变换。 因此，记 $C = B E_2$，则 $C = E_1 A E_2$。

观察题目中给出的矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这是一个三阶方阵。回忆初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等行变换（或列变换）所得到的矩阵称为初等矩阵。单位矩阵 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。将单位矩阵的第2行加上第1行（即 $r_2 + r_1$），得到矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这与 $P$ 不同。但若将单位矩阵的第1列加上第2列（即 $c_1 + c_2$），则得到 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这正是 $P$。因此 $P$ 是初等矩阵，对应“将第2列加到第1列”的列变换。 进一步，题目中给出的 $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 与 $P$ 完全相同，故 $P = E_1$。而 $E_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是 $P$ 的逆矩阵。验证：$P \cdot E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$，同理 $E_2 \cdot P = E$。因此 $P^{-1} = E_2$。 这一关系表明，$P$ 是初等矩阵，其逆矩阵也是初等矩阵，且对应相反的列变换（将第1列减去第2列）。

在上一节中，我们已经确定了矩阵$E_1$和$E_2$的具体形式：$E_1 = P$，$E_2 = P^{-1}$。现在，我们将这两个矩阵代入原关系式$C = E_1 A E_2$中。 代入过程如下： $$C = E_1 A E_2 = P \cdot A \cdot P^{-1}$$ 即得到$C = P A P^{-1}$。 回顾题目条件：$A$与$B$相似，且$P$是由$A$的线性无关的特征向量构成的矩阵，满足$P^{-1}AP = B$。这里我们得到的关系$C = P A P^{-1}$实际上是将$A$通过$P$进行相似变换得到$C$，而$B = P^{-1}AP$，因此$C$与$B$互为逆相似变换的结果。进一步分析可知，$C$与$A$相似，且$C$与$B$也相似（因为$C = P A P^{-1}$，而$B = P^{-1} A P$，所以$C = P B P^{-1}$）。 对比题目给出的四个选项： A. $C = P^{-1}AP$ B. $C = PAP^{-1}$ C. $C = P^T A P$ D. $C = P A P^T$ 显然，我们推导出的$C = P A P^{-1}$与选项B完全一致，因此正确答案是B。 最终验证：由于$P$可逆，$P^{-1}$存在，$C = P A P^{-1}$是一个合法的相似变换，且满足题目中$E_1$和$E_2$均为可逆矩阵的条件。至此，整个解题过程完成。