2006年考研数学一第13题

已知条件概率 $P(A|B)=1$。根据条件概率的定义公式： $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B)>0)$$ 将已知条件代入，得到： $$\frac{P(AB)}{P(B)}=1$$ 等式两边同时乘以 $P(B)$（$P(B)>0$），可得： $$P(AB)=P(B)$$ 这一等式表明，事件 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率等于事件 $B$ 发生的概率。从集合的角度理解，这意味着事件 $B$ 的样本点全部包含在事件 $A$ 中，即 $B \subseteq A$（在概率意义上几乎必然成立）。该转化是后续推导的基础，它将条件概率关系转化为事件概率之间的直接等式。

根据概率论中的加法公式，对于任意两个事件$A$和$B$，其并集$A\cup B$的概率为： $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$ 其中$P(AB)$表示事件$A$与$B$同时发生的概率（即交集概率）。该公式的直观含义是：先分别计算$A$和$B$的概率，但两者重叠部分（即$AB$）被重复计算了一次，因此需要减去一次重叠部分的概率。 在本题目中，设事件$A$为“第一次取到正品”，事件$B$为“第二次取到正品”。我们需要求的是两次中至少有一次取到正品的概率，即$P(A\cup B)$。因此，直接代入加法公式即可得到： $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$ 接下来需要分别计算$P(A)$、$P(B)$和$P(AB)$的值，并代入此公式计算最终结果。

已知条件为$P(AB)=P(B)$，即事件$A$与$B$同时发生的概率等于事件$B$发生的概率。这实际上表明$B \subseteq A$，即事件$B$的发生必然导致事件$A$的发生。在概率的加法公式中，有$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。将$P(AB)=P(B)$代入该公式，得到： $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(B)=P(A)$$ 因此，化简后的结果为$P(A \cup B)=P(A)$。这一结果与集合论中的结论一致：当$B \subseteq A$时，$A \cup B = A$，故概率相等。

由前一步化简得到 $P(A \cup B) = P(A)$。现在将这一结果与四个选项逐一对比： - 选项 (A)：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。由于 $P(B) > 0$，该式与 $P(A \cup B) = P(A)$ 矛盾，故排除。 - 选项 (B)：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。这是概率加法公式，但题目条件已推出 $P(AB) = P(B)$，代入得 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(B) = P(A)$，虽然数值上成立，但选项 (B) 本身是恒等式，并非由条件导出的特定关系，且题目要求选择与条件等价的选项，而 (B) 对任意事件都成立，故不是本题要选的结论。 - 选项 (C)：$P(A \cup B) = P(A)$。这正是我们化简得到的结果，完全一致。 - 选项 (D)：$P(A \cup B) = P(B)$。与 $P(A \cup B) = P(A)$ 比较，除非 $P(A)=P(B)$，否则不成立，而题目未给出此条件，故排除。 因此，与条件等价的选项是 (C)。 最终答案验证：由已知 $P(A|B)=1$ 可得 $P(AB)=P(B)$，代入概率加法公式得 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(B)=P(A)$，与选项 (C) 吻合，结论正确。