💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
由 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，得 $\displaystyle\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}} \sim N(0,1), \displaystyle\frac{Y-\mu_{2}}{\sigma_{2}} \sim N(0,1)$ ，
$P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right}=P\left\{-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\lt \displaystyle\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\lt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right}=\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)-\Phi\left(-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)=2 \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)-1$,
$P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right}=P\left\{-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\lt \displaystyle\frac{Y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\lt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right}=\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)-\Phi\left(-\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)=2 \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)-1$,
由 $P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right}$ ，得 $\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\right)\gt \Phi\left(\displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}\right)$ ，即 $\displaystyle\frac{1}{\sigma_{1}}\gt \displaystyle\frac{1}{\sigma_{2}}$ 或 $\sigma_{1}\lt \sigma_{2}$ ，应选（A）．
## 三、解答题
📋 详细解题步骤
目标：标准化随机变量
首先，根据题目信息，随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$。为了将问题转化为标准正态分布的形式，我们需要对 $X$ 和 $Y$ 进行标准化处理。标准化变换的公式为：对于任意正态随机变量 $W \sim N(\mu, \sigma^2)$，令 $Z = \frac{W - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0,1)$。
具体地，对于 $X$，其均值为 $\mu_1$，标准差为 $\sigma_1$，因此标准化后的随机变量为：
$$Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1} \sim N(0,1).$$
对于 $Y$，其均值为 $\mu_2$，标准差为 $\sigma_2$，标准化后的随机变量为：
$$Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2} \sim N(0,1).$$
经过标准化后，$Z_1$ 和 $Z_2$ 均服从标准正态分布，且它们之间的相关系数保持不变。设 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho$，则 $Z_1$ 与 $Z_2$ 的相关系数仍为 $\rho$。这是因为标准化是线性变换，不会改变随机变量之间的线性相关程度。具体地，有：
$$\operatorname{Cov}(Z_1, Z_2) = \operatorname{Cov}\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}, \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\right) = \frac{1}{\sigma_1\sigma_2}\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{\rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1\sigma_2} = \rho,$$
且 $\operatorname{Var}(Z_1)=\operatorname{Var}(Z_2)=1$，故相关系数 $\rho_{Z_1Z_2} = \rho$。
至此，我们完成了将原始随机变量 $X$ 和 $Y$ 标准化为 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的步骤，为后续计算概率或分位数奠定了基础。
公式：$$Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1}, \quad Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2}$$
提示：标准化时务必使用标准差（开方后的值），而不是方差。
目标：转化概率表达式
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且相互独立。我们需要将概率 $P\{|X-\mu_1|<1\}$ 和 $P\{|Y-\mu_2|<1\}$ 转化为标准正态分布的形式。
首先处理 $P\{|X-\mu_1|<1\}$。由于 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，对其进行标准化：令 $Z_1 = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$，则 $Z_1 \sim N(0,1)$。不等式 $|X-\mu_1| < 1$ 等价于 $|\sigma_1 Z_1| < 1$，即 $|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}$。因此
$$
P\{|X-\mu_1|<1\} = P\left\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\right\}.
$$
利用标准正态分布的对称性，$P\{|Z_1| < a\} = \Phi(a) - \Phi(-a) = 2\Phi(a) - 1$，其中 $a = \frac{1}{\sigma_1}$，$\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布函数。于是
$$
P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1.
$$
同理，对于 $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，令 $Z_2 = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$，则 $Z_2 \sim N(0,1)$。不等式 $|Y-\mu_2| < 1$ 等价于 $|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}$，因此
$$
P\{|Y-\mu_2|<1\} = P\left\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1.
$$
至此，我们已将原概率表达式转化为标准正态分布函数的形式，为后续利用独立性计算联合概率做好了准备。
公式：P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1, \quad P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1
提示：标准化时注意分母是标准差σ，不是方差σ²；利用对称性时Φ(-a)=1-Φ(a)。
目标：利用概率不等式推导
已知条件为 $P\{|X-\mu_1|<1\} > P\{|Y-\mu_2|<1\}$。由于 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，对正态分布进行标准化处理。令 $Z_X = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$，则 $Z_X \sim N(0,1)$；令 $Z_Y = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$，则 $Z_Y \sim N(0,1)$。于是：
$$P\{|X-\mu_1|<1\} = P\left\{\left|\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} = P\left\{|Z_X| < \frac{1}{\sigma_1}\right\}$$
同理，
$$P\{|Y-\mu_2|<1\} = P\left\{|Z_Y| < \frac{1}{\sigma_2}\right\}$$
对于标准正态分布，有 $P\{|Z| < a\} = 2\Phi(a) - 1$，其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布函数。因此，
$$P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1$$
$$P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1$$
代入不等式 $P\{|X-\mu_1|<1\} > P\{|Y-\mu_2|<1\}$ 得：
$$2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1$$
两边同时加1，再除以2，得到：
$$\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)$$
由于标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 是严格单调递增函数，因此由 $\Phi(a) > \Phi(b)$ 可得 $a > b$，即：
$$\frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2}$$
两边取倒数（注意正数），不等号方向改变：
$$\sigma_1 < \sigma_2$$
至此，我们通过概率不等式推导出了方差之间的关系。
公式：$$P\{|X-\mu_1|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right)-1, \quad P\{|Y-\mu_2|<1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)-1$$
提示：注意正态分布概率转化为标准正态分布函数时，公式 $P\{|Z|
目标：利用Φ的单调性得出结论
由前一步已知，对于任意实数 $x$，有 $\Phi\left(\frac{x}{\sigma_1}\right) \geq \Phi\left(\frac{x}{\sigma_2}\right)$。标准正态分布函数 $\Phi(t)$ 是严格单调递增的，即若 $t_1 < t_2$，则 $\Phi(t_1) < \Phi(t_2)$；反之，若 $\Phi(t_1) \geq \Phi(t_2)$，则必有 $t_1 \geq t_2$。
因此，由 $\Phi\left(\frac{x}{\sigma_1}\right) \geq \Phi\left(\frac{x}{\sigma_2}\right)$ 对任意 $x$ 成立，可得 $\frac{x}{\sigma_1} \geq \frac{x}{\sigma_2}$ 对任意 $x$ 成立。特别地，取 $x > 0$，不等式两边同除以正数 $x$，得到 $\frac{1}{\sigma_1} \geq \frac{1}{\sigma_2}$，即 $\sigma_1 \leq \sigma_2$。
但需注意，当 $x < 0$ 时，不等式 $\frac{x}{\sigma_1} \geq \frac{x}{\sigma_2}$ 两边同除以负数 $x$ 会改变不等号方向，得到 $\frac{1}{\sigma_1} \leq \frac{1}{\sigma_2}$，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2$。为了使对任意实数 $x$ 均成立，必须同时满足 $\sigma_1 \leq \sigma_2$ 和 $\sigma_1 \geq \sigma_2$，从而 $\sigma_1 = \sigma_2$。但题目中 $\sigma_1 \neq \sigma_2$，故需重新审视。
实际上，原条件 $P\left\{|X_1| \geq x\right\} \geq P\left\{|X_2| \geq x\right\}$ 对任意 $x>0$ 成立，等价于 $\Phi\left(\frac{x}{\sigma_1}\right) \leq \Phi\left(\frac{x}{\sigma_2}\right)$（注意不等号方向）。由 $\Phi$ 的单调性，得 $\frac{x}{\sigma_1} \leq \frac{x}{\sigma_2}$ 对任意 $x>0$ 成立，从而 $\frac{1}{\sigma_1} \leq \frac{1}{\sigma_2}$，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2$。
因此，$\sigma_1 \geq \sigma_2$，对应选项 (A)。最终答案为 (A)。
公式：$$\Phi\left(\frac{x}{\sigma_1}\right) \leq \Phi\left(\frac{x}{\sigma_2}\right) \Rightarrow \frac{1}{\sigma_1} \leq \frac{1}{\sigma_2} \Rightarrow \sigma_1 \geq \sigma_2$$
提示：注意 $P\{|X|\geq x\}=2\left[1-\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)\right]$，利用单调性时需小心不等号方向。
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