2006年考研数学二第15题

解答题 · 10分

📝 题目

试确定常数 $A, B, C$ 的值，使得 $\mathrm{e}^{x}\left(1+B x+C x^{2}\right)=1+A x+o\left(x^{3}\right)$ ，其中 $o\left(x^{3}\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^{3}$ 高阶的无穷小量。

💡 答案解析

---

（15）【详解】 方法 1：用泰勒公式 将 $e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)$ 代入题设等式整理得

$$ 1+(B+1) x+\left(C+B+\frac{1}{2}\right) x^2+\left(\frac{B}{2}+C+\frac{1}{6}\right)+o\left(x^3\right)=1+A x+o\left(x^3\right) $$

比较两边同次幂函数得 $\left\{\begin{array}{l}B+1=A \\ C+B+\displaystyle\frac{1}{2}=0 \text { ，由此可解得 } A=\displaystyle\frac{1}{3}, \quad B=-\displaystyle\frac{2}{3}, \quad C=\displaystyle\frac{1}{6} \\ \displaystyle\frac{B}{2}+C+\displaystyle\frac{1}{6}=0\end{array}\right.$ 方法 2：用洛必达法则．由 $e^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right),(x \rightarrow 0)$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad J=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(1+B x+C x^2\right)-1-A x}{x^3}=0 \\ & \Rightarrow \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(1+B x+C x^2\right)+e^x(B+2 C x)-A}{3 x^2} \end{aligned} $$

要求分子极限为 0 ，即 $1+B-A=0$ ，否则 $J=\infty$

$$ \Rightarrow \quad J=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(1+B x+C x^2\right)+2 e^x(B+2 C x)+2 e^x C}{6 x} $$

要求分子极限为 0 ，即 $1+2 B+2 C=0$ ，否则 $J=\infty$ $$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad J=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(1+B x+C x^2\right)+3 e^x(B+2 C x)+6 e^x C}{6}=\frac{1+3 B+6 C}{6}=0 \\ & \Rightarrow \quad 1+3 B+6 C=0 \end{aligned} $$

所以

$$ \left\{\begin{array} { c } { 1 + B - A = 0 } \\ { 1 + 2 B + 2 C = 0 } \\ { 1 + 3 B + 6 C = 0 } \end{array} \text { 解得 } \left\{\begin{array}{c} A=\frac{1}{3} \\ B=-\frac{2}{3} \\ C=\frac{1}{6} \end{array}\right.\right. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：展开指数函数
本步骤的目标是将指数函数 $e^x$ 在 $x=0$ 处进行泰勒展开，展开到 $x^3$ 项，并写出余项 $o(x^3)$。泰勒展开公式为： $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3)$$ 对于 $f(x)=e^x$，其各阶导数均为 $e^x$，在 $x=0$ 处有： $$f(0)=e^0=1, \quad f'(0)=1, \quad f''(0)=1, \quad f'''(0)=1$$ 代入泰勒公式得： $$e^x = 1 + 1\cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + o(x^3)$$ 计算系数： $$\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$$ 因此展开式为： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 这个展开式在 $x \to 0$ 时成立，$o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 更高阶的无穷小。该展开将用于后续步骤中替换原极限表达式中的 $e^x$，以便进行极限计算。
公式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
提示：牢记泰勒展开系数为 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，不要漏掉分母的阶乘。
步骤 2/4
目标：代入并整理多项式
将第一步得到的展开式代入原式左边： 原式左边为 $(1+ax+bx^2+cx^3)\left(1+Bx+Cx^2\right) + o(x^3)$。 将两个多项式相乘： $$ (1+ax+bx^2+cx^3)(1+Bx+Cx^2) = 1\cdot1 + 1\cdot Bx + 1\cdot Cx^2 + ax\cdot1 + ax\cdot Bx + ax\cdot Cx^2 + bx^2\cdot1 + bx^2\cdot Bx + cx^3\cdot1 + \text{更高次项（归入 }o(x^3)\text{）}. $$ 逐项计算并合并同类项： - 常数项：$1$。 - $x$ 项：$Bx + ax = (a+B)x$。 - $x^2$ 项：$Cx^2 + aBx^2 + bx^2 = (C + aB + b)x^2$。 - $x^3$ 项：$aCx^3 + bBx^3 + cx^3 = (aC + bB + c)x^3$。 - 更高次项（$x^4$ 及以上）均归入 $o(x^3)$。 因此，左边整理为： $$ 1 + (a+B)x + (C + aB + b)x^2 + (aC + bB + c)x^3 + o(x^3). $$ 这就是代入并合并同类项后的多项式形式，下一步将利用已知等式与右边比较系数。
公式：$$1 + (a+B)x + (C + aB + b)x^2 + (aC + bB + c)x^3 + o(x^3)$$
提示：相乘时按幂次逐项写出，避免遗漏交叉项，最后统一合并同类项。
步骤 3/4
目标：比较系数建立方程组
将前一步得到的恒等式两边展开，并比较同次幂的系数。设原被积函数分解为 $\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$，通分后分子为： $$A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) = A x^2 + A + B x^2 + B x + C x + C = (A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C).$$ 原被积函数的分子为 $1$，即 $1 = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1$。因此比较等式两边 $x$ 的同次幂系数： - $x^2$ 项系数：$A + B = 0$； - $x$ 项系数：$B + C = 0$； - 常数项：$A + C = 1$。 这样就得到了关于 $A, B, C$ 的线性方程组： $$ \begin{cases} A + B = 0, \\ B + C = 0, \\ A + C = 1. \end{cases} $$
公式：\begin{cases} A + B = 0 \\ B + C = 0 \\ A + C = 1 \end{cases}
提示：比较系数时，先写出通分后的分子多项式，再逐项对照，避免遗漏。
步骤 4/4
目标：求解方程组
本步骤需要求解由前几步得到的线性方程组： $$ \begin{cases} B + 1 = A \\ C + B + \frac{1}{2} = 0 \\ \frac{B}{2} + C + \frac{1}{6} = 0 \end{cases} $$ 首先，将第一个方程改写为 $A = B + 1$，这将在后续用于确定 $A$ 的值。 接着，处理第二个方程 $C + B + \frac{1}{2} = 0$，移项得 $C = -B - \frac{1}{2}$。 将 $C$ 的表达式代入第三个方程： $$ \frac{B}{2} + \left(-B - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{6} = 0 $$ 化简左边： $$ \frac{B}{2} - B - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 0 $$ 合并 $B$ 项：$\frac{B}{2} - B = -\frac{B}{2}$。合并常数项：$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$。 因此方程化为： $$ -\frac{B}{2} - \frac{1}{3} = 0 $$ 移项得 $-\frac{B}{2} = \frac{1}{3}$，两边乘以 $-2$ 得 $B = -\frac{2}{3}$。 将 $B = -\frac{2}{3}$ 代入 $C = -B - \frac{1}{2}$： $$ C = -\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} $$ 再将 $B = -\frac{2}{3}$ 代入 $A = B + 1$： $$ A = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} $$ 因此方程组的解为 $A = \frac{1}{3}$，$B = -\frac{2}{3}$，$C = \frac{1}{6}$。 **验证**：将解代入原方程组： - 第一个方程：$B+1 = -\frac{2}{3}+1 = \frac{1}{3} = A$，成立。 - 第二个方程：$C+B+\frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = 0$，成立。 - 第三个方程：$\frac{B}{2}+C+\frac{1}{6} = \frac{-\frac{2}{3}}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$，成立。 验证无误，解正确。
公式：\begin{cases} B+1=A \\ C+B+\frac{1}{2}=0 \\ \frac{B}{2}+C+\frac{1}{6}=0 \end{cases} \Rightarrow A=\frac{1}{3},\, B=-\frac{2}{3},\, C=\frac{1}{6}
提示：解三元一次方程组时，先消去一个变量，逐步回代，最后验证解的正确性。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第14题 返回列表 第16题 →