设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{x^{3}} \displaystyle\int_{0}^{x} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ .
反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1-x \mathrm{e}^{y}$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $x$ 在点 $x_{0}$ 处的增量， $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x\gt 0$ ，则（）
设 $f(x)$ 是奇函数，除 $x=0$ 外处处连续，$x=0$ 是其第一类间断点，则 $\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是（ ）
设函数 $g(x)$ 可微，$h(x)=\mathrm{e}^{1+g(x)}, h^{\prime}(1)=1, g^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)$ 等于（ ）
函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-2 x}+x \mathrm{e}^{x}$ 满足的一个微分方程是（）
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则 $\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于（ ）
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ 。已知 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y) =0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的－ 1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $(\quad)$
试确定常数 $A, B, C$ 的值，使得 $\mathrm{e}^{x}\left(1+B x+C x^{2}\right)=1+A x+o\left(x^{3}\right)$ ，其中 $o\left(x^{3}\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^{3}$ 高阶的无穷小量。
求 $\displaystyle\int \displaystyle\frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ 。
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D} \displaystyle\frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0\lt x_{1}\lt\pi, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ． （I）证明 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限；（II）计算 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\displaystyle\frac{1}{x_{n}^{2}}}$ ．
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ． （I）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\displaystyle\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$ ；（II）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式。
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+1, \\ y=4 t-t^{2},\end{array}(t \geqslant 0)\right.$ ． （I）讨论 $L$ 的凹凸性； （II）过点 $(-1,0)$ 引 $L$ 的切线，求切点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，并写出切线的方程； （III）求此切线与 $L$（对应于 $x \leqslant x_{0}$ 的部分）及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积。
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ ，有三个线性无关的解。 （I）证明方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ；（II）求 $a, b$ 的值及方程组的通解．
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解。 （ I ）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；（II）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．