💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
方法一 令 $Q=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right),\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=\boldsymbol{A} Q$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)=r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}) \leqslant r(\boldsymbol{Q})$ ．
若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $r(\boldsymbol{Q})\lt s$ ，于是 $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}\right) \leqslant r(\boldsymbol{Q})\lt s$ ，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）。
方法二 若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ ，使得
$$
k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0},
$$
等式两边左乘 $\boldsymbol{A}$ 得
$$
k_{1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0},
$$
由线性相关的定义得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关，应选（A）．
📋 详细解题步骤
目标：理解题意与选项
本题为2006年数学二第13题，题目给出：设$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$是$n$维列向量组，$A$为$m\times n$矩阵。要求判断下列四个选项中哪一个正确。选项如下：
(A) 若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$也线性相关。
(B) 若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$线性无关。
(C) 若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$也线性无关。
(D) 若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$线性相关。
我们需要理解题意：题目涉及向量组的线性相关性与矩阵乘法后的线性相关性之间的关系。关键点在于矩阵$A$是$m\times n$矩阵，它可以将$n$维列向量映射为$m$维列向量。线性相关性的定义：存在一组不全为零的系数$k_1,k_2,\dots,k_s$使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s=0$。对于变换后的向量组，考虑$k_1A\alpha_1+k_2A\alpha_2+\dots+k_sA\alpha_s = A(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s)$。因此，如果原向量组线性相关，则存在不全为零的$k_i$使得$\sum k_i\alpha_i=0$，那么$A(\sum k_i\alpha_i)=0$，即$\sum k_i(A\alpha_i)=0$，所以变换后的向量组也线性相关。但要注意，如果$A$不是单射（即$Ax=0$有非零解），则即使原向量组线性无关，变换后的向量组也可能线性相关。因此，选项(A)总是成立，而(C)不一定成立。选项(B)和(D)明显错误。所以本题正确选项为(A)。
公式：$$k_1A\alpha_1+k_2A\alpha_2+\dots+k_sA\alpha_s = A(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s)$$
提示：记住：线性相关经过线性映射仍线性相关，但线性无关不一定保持。
目标：分析选项A和B（原向量组相关的情形）
设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性相关，则存在一组不全为零的系数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使得
$$
k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = \mathbf{0}.
$$
对等式两边左乘矩阵 $A$，得到
$$
A(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}.
$$
由矩阵乘法的线性性质，上式化为
$$
k_1(A\alpha_1) + k_2(A\alpha_2) + \cdots + k_s(A\alpha_s) = \mathbf{0}.
$$
由于系数 $k_1,k_2,\dots,k_s$ 不全为零，因此向量组 $A\alpha_1,A\alpha_2,\dots,A\alpha_s$ 线性相关。
对于选项A："若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性相关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性相关"，上述推导直接证明了该命题成立，故选项A正确。
对于选项B："若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $A\alpha_1,\dots,A\alpha_s$ 线性无关"，此命题不一定成立。反例：取 $A$ 为零矩阵，则任何向量组经 $A$ 作用后都变成零向量组，而零向量组必然线性相关。因此，原向量组线性无关不能推出像向量组线性无关，选项B错误。
综上，本步骤分析得出：选项A正确，选项B错误。
公式：$$k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = \mathbf{0} \Rightarrow k_1(A\alpha_1) + \cdots + k_s(A\alpha_s) = \mathbf{0}$$
提示：左乘矩阵保持线性关系，但可能使无关组变为相关组，注意零矩阵反例。
目标：分析选项C和D（原向量组无关的情形）
考虑原向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性无关的情形。此时，变换后的向量组为 $\beta_i = A\alpha_i$（$i=1,\dots,s$），其线性相关性完全取决于矩阵 $A$ 的性质。
首先分析选项C：“若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 也线性无关”。我们举反例说明该结论不一定成立。取 $A$ 为零矩阵，即 $A=O$，则对任意 $i$ 有 $\beta_i = O\alpha_i = \mathbf{0}$（零向量）。此时 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 全为零向量，显然线性相关（因为存在非零系数 $k_1=\cdots=k_s=1$ 使得 $\sum_{i=1}^s k_i\beta_i = \mathbf{0}$）。因此，即使原向量组线性无关，变换后也可能线性相关，故选项C不一定成立。
再分析选项D：“若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，则 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 也线性无关”。实际上选项C和D的表述相同（题目中C和D可能分别对应“无关→无关”和“相关→相关”等不同情形，但此处按步骤目标分析“原向量组无关”的情形）。我们考虑另一种情形：若 $A$ 是可逆方阵（即 $A$ 为 $n\times n$ 可逆矩阵），则对任意线性无关的 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$，有 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 也线性无关。证明：设 $\sum_{i=1}^s k_i\beta_i = \mathbf{0}$，即 $\sum_{i=1}^s k_i A\alpha_i = A\left(\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i\right) = \mathbf{0}$。由于 $A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 得 $\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i = \mathbf{0}$，由 $\alpha_i$ 线性无关知 $k_1=\cdots=k_s=0$，故 $\beta_i$ 线性无关。但若 $A$ 不可逆（例如 $A$ 是奇异矩阵或非方阵），则结论不一定成立。例如取 $A$ 为秩小于 $s$ 的矩阵，则 $\beta_i$ 可能线性相关。因此，选项D（若原向量组无关则变换后无关）也不一定成立，因为存在反例（如 $A=O$）。
综上，当原向量组线性无关时，变换后向量组的线性相关性依赖于 $A$：若 $A$ 可逆则无关，若 $A$ 为零矩阵则相关。因此选项C和D都不一定成立，即它们不是必然正确的结论。
公式：$$\beta_i = A\alpha_i, \quad i=1,\dots,s$$
提示：举反例时优先考虑极端情况（如零矩阵），可快速判断选项不成立。