2006年考研数学二第12题

首先，由题目条件已知方程 $\varphi(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处满足隐函数定理的条件：$\varphi(x_0, y_0) = 0$，且 $\varphi_y'(x_0, y_0) \neq 0$。根据隐函数定理，存在点 $(x_0, y_0)$ 的一个邻域，在该邻域内方程 $\varphi(x, y) = 0$ 唯一确定一个连续可微的隐函数 $y = y(x)$，满足 $y(x_0) = y_0$，并且对任意在该邻域内的 $x$ 有 $\varphi(x, y(x)) \equiv 0$。 接下来，我们对恒等式 $\varphi(x, y(x)) \equiv 0$ 两边关于 $x$ 求导。利用链式法则，得到： $$\frac{d}{dx} \varphi(x, y(x)) = \varphi_x'(x, y(x)) + \varphi_y'(x, y(x)) \cdot y'(x) = 0.$$ 由此解出隐函数的导数： $$y'(x) = -\frac{\varphi_x'(x, y(x))}{\varphi_y'(x, y(x))}.$$ 特别地，在点 $(x_0, y_0)$ 处，有 $$y'(x_0) = -\frac{\varphi_x'(x_0, y_0)}{\varphi_y'(x_0, y_0)}.$$ 这一步骤为后续利用隐函数求导法则计算 $\frac{dy}{dx}$ 以及进一步求二阶导数奠定了基础。注意，由于 $\varphi_y' \neq 0$，上述表达式在 $(x_0, y_0)$ 附近是良定义的。

已知函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处取得极值，且 $y = y(x)$ 是由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的隐函数。将 $y = y(x)$ 代入 $f(x, y)$ 得到关于 $x$ 的一元函数 $z = f(x, y(x))$。由于 $z$ 在 $x = x_0$ 处取得极值，根据一元函数极值的必要条件，在极值点处导数必须为零，即 $\frac{dz}{dx}\big|_{x=x_0} = 0$。 对 $z = f(x, y(x))$ 关于 $x$ 求导，利用复合函数求导法则（链式法则）： $$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}.$$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处，有 $$\left.\frac{dz}{dx}\right|_{x=x_0} = f_x'(x_0, y_0) + f_y'(x_0, y_0) \cdot y'(x_0) = 0.$$ 其中 $y'(x_0)$ 可由隐函数 $F(x, y)=0$ 的求导公式得到：$y'(x_0) = -\frac{F_x'(x_0, y_0)}{F_y'(x_0, y_0)}$（假设 $F_y'(x_0, y_0) \neq 0$）。代入上式得 $$f_x'(x_0, y_0) - f_y'(x_0, y_0) \cdot \frac{F_x'(x_0, y_0)}{F_y'(x_0, y_0)} = 0.$$ 整理即得 $$f_x'(x_0, y_0) F_y'(x_0, y_0) - f_y'(x_0, y_0) F_x'(x_0, y_0) = 0.$$ 此式即为条件极值问题中拉格朗日乘数法所导出的必要条件之一。

已知隐函数方程 $\varphi(x, y(x)) = 0$，其中 $y$ 是 $x$ 的隐函数。对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此需要使用链式法则。求导得： $$ \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0. $$ 记 $\varphi_x' = \frac{\partial \varphi}{\partial x}$，$\varphi_y' = \frac{\partial \varphi}{\partial y}$，$y' = \frac{dy}{dx}$，则上式可写为： $$ \varphi_x' + \varphi_y' \cdot y' = 0. $$ 解出 $y'$： $$ y' = -\frac{\varphi_x'}{\varphi_y'}, \quad \text{当 } \varphi_y' \neq 0. $$ 在给定点 $(x_0, y_0)$ 处，隐函数的导数值为： $$ y'(x_0) = -\frac{\varphi_x'(x_0, y_0)}{\varphi_y'(x_0, y_0)}. $$ 此公式即为隐函数求导的基本公式。注意，分母 $\varphi_y'(x_0, y_0)$ 不能为零，否则隐函数定理的条件不满足，无法确定唯一的隐函数。

由隐函数求导法则，在点$(x_0,y_0)$处，由方程$\varphi(x,y)=0$确定的隐函数$y=y(x)$的导数为： $$y'(x_0) = -\frac{\varphi_x'(x_0,y_0)}{\varphi_y'(x_0,y_0)}$$ 其中$\varphi_y'(x_0,y_0) \neq 0$。 将上述导数表达式代入极值必要条件$f_y'(x_0,y_0) \cdot y'(x_0) + f_x'(x_0,y_0) = 0$中，得到： $$f_x'(x_0,y_0) + f_y'(x_0,y_0) \cdot \left(-\frac{\varphi_x'(x_0,y_0)}{\varphi_y'(x_0,y_0)}\right) = 0$$ 即 $$f_x'(x_0,y_0) - f_y'(x_0,y_0) \cdot \frac{\varphi_x'(x_0,y_0)}{\varphi_y'(x_0,y_0)} = 0$$ 两边同时乘以$\varphi_y'(x_0,y_0)$（非零），得到等价条件： $$f_x'(x_0,y_0) \cdot \varphi_y'(x_0,y_0) - f_y'(x_0,y_0) \cdot \varphi_x'(x_0,y_0) = 0$$ 即 $$f_x'(x_0,y_0) \cdot \varphi_y'(x_0,y_0) = f_y'(x_0,y_0) \cdot \varphi_x'(x_0,y_0)$$ 这个等式正是拉格朗日乘数法中梯度平行的条件：$\nabla f$与$\nabla \varphi$在极值点处共线。它表明，在约束$\varphi(x,y)=0$下，函数$f(x,y)$取得极值的必要条件是$f$的梯度与约束函数的梯度平行。

由前几步推导可知，对于函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处，若 $f_x'(x_0, y_0) \neq 0$，则根据隐函数存在定理或链式法则，在满足一定条件下可推出 $f_y'(x_0, y_0) \neq 0$。具体地，考虑方程 $f(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 附近确定隐函数 $y = y(x)$，则对 $f(x, y(x)) = 0$ 两边关于 $x$ 求导得： $$ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0. $$ 若 $f_x' \neq 0$ 而 $f_y' = 0$，则上式左边为 $f_x'$（非零），右边为 $0$，矛盾。因此 $f_y'$ 不能为零，即 $f_y' \neq 0$。同理，若 $f_y' \neq 0$ 也可推出 $f_x' \neq 0$。故 $f_x' \neq 0$ 与 $f_y' \neq 0$ 是等价的。 现在分析选项： - (A) 若 $f_x' = 0$ 则 $f_y' = 0$，由上述等价性可知正确，但题目要求判断哪个选项正确，需注意 (A) 的逆否命题正是 (D)。 - (B) 若 $f_x' = 0$ 则 $f_y' \neq 0$，与等价性矛盾。 - (C) 若 $f_x' \neq 0$ 则 $f_y' = 0$，与等价性矛盾。 - (D) 若 $f_x' \neq 0$ 则 $f_y' \neq 0$，这正是由上述推导得到的结论，因此 (D) 正确。 最终验证：取反例 $f(x, y) = x + y$，在任意点处 $f_x' = 1 \neq 0$，$f_y' = 1 \neq 0$，符合 (D)；而若取 $f(x, y) = x$，则 $f_x' = 1 \neq 0$ 但 $f_y' = 0$，但此时 $f(x, y) = 0$ 不能确定隐函数 $y = y(x)$，不满足定理条件，故 (D) 在定理条件下成立。因此选项 (D) 正确。