2006年考研数学二第11题

首先，题目给出的积分形式为极坐标下的二重积分： $$\iint_D f(r,\theta) \, r \, dr \, d\theta$$ 其中积分限为：$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$，$r$ 从 $0$ 到 $1$。 在极坐标系中，$\theta$ 表示从极轴（通常为 $x$ 轴正方向）逆时针旋转的角度，$r$ 表示点到极点的距离。因此，积分区域 $D$ 由以下边界围成： - 射线 $\theta = 0$（即 $x$ 轴正半轴）； - 射线 $\theta = \frac{\pi}{4}$（即直线 $y = x$ 在第一象限的部分）； - 圆弧 $r = 1$（即圆心在原点、半径为 $1$ 的圆在第一象限的部分）。 由于 $r$ 从 $0$ 到 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$，该区域是一个圆心角为 $45^\circ$（即 $\frac{\pi}{4}$ 弧度）的扇形，位于第一象限内。扇形的顶点在原点，半径为 $1$。 因此，积分区域 $D$ 可以描述为： $$D = \left\{ (r,\theta) \mid 0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{4} \right\}$$ 在直角坐标系中，该区域对应的是由 $x$ 轴、直线 $y=x$ 和圆弧 $x^2+y^2=1$ 所围成的曲边三角形（扇形）。 识别积分区域是后续进行积分计算的基础，它决定了被积函数的形式以及积分次序是否可交换。

在极坐标系中，区域由射线 $\theta = 0$、射线 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 和圆弧 $r = 1$ 围成。首先将极坐标边界转换为直角坐标方程： 1. 射线 $\theta = 0$ 对应极轴，在直角坐标系中为 $x$ 轴正半轴，方程为 $y = 0$，且 $x \geq 0$。 2. 射线 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 对应直线 $y = x$，且位于第一象限，故 $x \geq 0$，$y \geq 0$。 3. 圆弧 $r = 1$ 对应圆 $x^2 + y^2 = 1$。 因此，区域位于第一象限，由 $x$ 轴（$y=0$）、直线 $y=x$ 和圆 $x^2+y^2=1$ 围成。 为了用直角坐标描述该区域，需要确定 $x$ 和 $y$ 的取值范围。由于区域在直线 $y=x$ 下方（因为 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$，$\theta$ 越小越靠近 $x$ 轴），所以 $y \leq x$。同时，区域在圆内，即 $x^2 + y^2 \leq 1$。 考虑 $x$ 的范围：当 $y=0$ 时，$x$ 从 $0$ 到 $1$；当 $y=x$ 时，代入圆方程得 $2x^2 = 1$，即 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$（取正值）。因此，$x$ 从 $0$ 到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$y$ 的下界为 $0$，上界为 $x$；$x$ 从 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 到 $1$ 时，$y$ 的下界为 $0$，上界为 $\sqrt{1-x^2}$。 综上，区域 $D$ 的直角坐标描述为： $$D = \left\{ (x,y) \, \middle| \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{1-x^2}, & \frac{\sqrt{2}}{2} \leq x \leq 1 \end{cases} \right\}$$ 或者等价地，先对 $y$ 积分时：$y$ 从 $0$ 到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x$ 从 $y$ 到 $\sqrt{1-y^2}$。

在Y型积分次序下，我们选择先对$x$后对$y$积分。首先需要确定$y$的取值范围。积分区域由直线$x=y$和圆$x^2+y^2=1$在第一象限的部分围成。直线$x=y$与圆的交点满足$y^2+y^2=1$，即$2y^2=1$，解得$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$（取正值）。因此$y$的下限为0，上限为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。对于固定的$y$，$x$的取值范围：左边界为直线$x=y$，右边界为圆弧$x=\sqrt{1-y^2}$。所以Y型积分限为： $$ \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \int_{y}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) \, dx. $$ 注意：这里$y$的上限$\frac{\sqrt{2}}{2}$是直线与圆的交点纵坐标，确保积分区域覆盖完整。

根据前几步确定的积分区域，在直角坐标系下将二重积分化为累次积分。积分区域由曲线 $x = y$ 和 $x = \sqrt{1 - y^2}$ 围成，且 $y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$。对于固定的 $y$，$x$ 从直线 $x = y$ 到圆弧 $x = \sqrt{1 - y^2}$。因此，直角坐标下的累次积分为： $$ \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \int_{y}^{\sqrt{1 - y^2}} f(x, y) \, dx. $$ 将该形式与题目给出的四个选项进行对比： - 选项（A）：$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dx \int_{x}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) dy$，积分次序不同。 - 选项（B）：$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \int_{0}^{\sqrt{1 - y^2}} f(x, y) dx$，$x$ 的下限错误。 - 选项（C）：$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \int_{y}^{\sqrt{1 - y^2}} f(x, y) dx$，与所得结果完全一致。 - 选项（D）：$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dx \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x, y) dy$，积分次序和下限均错误。 因此，正确选项为（C）。验证：积分区域为圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限内位于直线 $y = x$ 下方的部分，该累次积分准确地描述了该区域。