2006年考研数学二第4题

原题给出的微分方程为 $y' = \frac{y(1-x)}{x}$。首先，将右端表达式展开：$\frac{y(1-x)}{x} = \frac{y}{x} - y$。因此方程可写为 $y' = \frac{y}{x} - y$。为了将其化为一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，我们将所有含 $y$ 的项移到等号左边，常数项（此处为0）留在右边。移项得 $y' - \frac{y}{x} + y = 0$，即 $y' + \left(1 - \frac{1}{x}\right)y = 0$。更常见地，我们写成 $y' - \left(\frac{1}{x} - 1\right)y = 0$。这样，我们就得到了标准形式，其中 $P(x) = -\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 1 - \frac{1}{x}$，$Q(x) = 0$。注意，由于 $Q(x)=0$，该方程实际上是一个一阶齐次线性微分方程。

首先，将原方程化为标准形式。原方程为 $y' = \left(\frac{1}{x} - 1\right)y$，移项得 $y' - \left(\frac{1}{x} - 1\right)y = 0$。这是一个一阶线性齐次微分方程，其一般形式为 $y' + P(x)y = 0$。对比可知 $P(x) = -\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 1 - \frac{1}{x}$。 对于一阶线性齐次微分方程，通解公式为 $y = C e^{-\int P(x) dx}$，其中 $C$ 为任意常数。将 $P(x) = 1 - \frac{1}{x}$ 代入公式： $$y = C e^{-\int \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx} = C e^{-\left(\int 1 dx - \int \frac{1}{x} dx\right)} = C e^{-\left(x - \ln|x|\right)} = C e^{-x + \ln|x|} = C e^{-x} e^{\ln|x|} = C |x| e^{-x}.$$ 由于 $C$ 为任意常数，绝对值可以吸收到常数中，因此通解可写为 $y = C x e^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。注意：这里 $C$ 可正可负，且 $x=0$ 时需单独考虑，但通常解中 $x$ 可取非零值。 至此，我们完成了方程类型的识别并应用通解公式得到了微分方程的通解形式。

本步骤的目标是计算积分 $\int -\left(\frac{1}{x} - 1\right) dx$。首先，将被积函数中的负号分配进去，得到 $\int \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$。接下来，利用积分的线性性质，将积分拆分为两个简单积分的和：$\int 1 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx$。第一个积分 $\int 1 \, dx$ 的结果是 $x$（加上任意常数）。第二个积分 $\int \frac{1}{x} \, dx$ 是基本积分公式，结果为 $\ln|x|$（加上任意常数）。因此，原积分的结果为 $x - \ln|x| + C_0$，其中 $C_0$ 为积分常数。注意，这里使用绝对值是因为 $\frac{1}{x}$ 的定义域包含负数，而 $\ln x$ 仅对正数有定义，所以必须写成 $\ln|x|$ 以保证结果的正确性。至此，本步骤的积分计算完成。

将上一步得到的通解公式代入，得到 $y = C e^{x - \ln|x|}$。利用指数运算法则，将指数部分拆开：$e^{x - \ln|x|} = e^x \cdot e^{-\ln|x|}$。由于 $e^{-\ln|x|} = \frac{1}{e^{\ln|x|}} = \frac{1}{|x|}$，因此 $y = C e^x \cdot \frac{1}{|x|}$。注意到原微分方程为一阶线性齐次方程，其解通常可写为不含绝对值的形式。通过调整常数 $C$ 的符号，可以将 $\frac{1}{|x|}$ 中的绝对值去掉，得到 $y = \frac{C}{x} e^x$，但更常见的写法是 $y = C x e^{-x}$（这里 $C$ 为任意常数）。验证：将 $y = C x e^{-x}$ 代入原方程 $xy' + y = 0$，左边 $x \cdot C(e^{-x} - x e^{-x}) + C x e^{-x} = C x e^{-x} - C x^2 e^{-x} + C x e^{-x} = 2C x e^{-x} - C x^2 e^{-x}$，显然不等于0，说明此处需注意：实际上正确的通解应为 $y = \frac{C}{x} e^x$。重新验证：$y = \frac{C}{x} e^x$，则 $y' = C \left( \frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2} \right)$，代入 $xy' + y = x \cdot C \left( \frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2} \right) + \frac{C}{x} e^x = C e^x - \frac{C e^x}{x} + \frac{C e^x}{x} = C e^x \neq 0$，仍然不对。仔细检查：原方程应为 $xy' + y = 0$，分离变量得 $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$，积分得 $\ln|y| = -\ln|x| + C$，即 $y = \frac{C}{x}$。因此正确通解是 $y = \frac{C}{x}$。步骤概要中给出的 $y = C x e^{-x}$ 是错误的，应更正为 $y = \frac{C}{x}$。最终答案：$y = \frac{C}{x}$（$C$ 为任意常数）。