2006年考研数学二第22题

好的，我们先把题目给出的方程组先抄下来再看。 题目方程组是：

\[ \left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3} - x_{4} = -1, \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4} = 1 \end{array} \right. \]

并且已知它有三个线性无关的解。

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## （I）证明系数矩阵的秩为 2

**第一步：明确方程个数与解的关系** 原方程组是3个方程、4个未知数的非齐次线性方程组。

记系数矩阵为 \(A\) ，增广矩阵为 \((A \mid \beta)\)。已知有三个线性无关的解。 注意：对于非齐次线性方程组，任意两个解的差是齐次方程 \(A x = 0\) 的解。因此若该非齐次方程有 \(3\) 个线性无关的解 \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\)，则 \[ \eta_1 - \eta_3,\quad \eta_2 - \eta_3 \] 是齐次方程的两个线性无关的解（因为若它们线性相关则可推出原三个解线性相关），从而齐次方程解空间的维数至少为 \(2\)。

**第二步：利用解空间维数与矩阵秩的关系** 对于 \(4\) 元方程组，齐次解空间的维数 = \(4 - r(A)\)。 因此： \[ 4 - r(A) \ge 2 \quad\Rightarrow\quad r(A) \le 2. \] 但方程组有三个方程，如果 \(r(A) \le 1\)，那么至多只有 \(4-1=3\) 维解空间，但非齐次特解加齐次通解虽然可以有无穷多解，问题是条件是有三个线性无关的解是可以成立的；我们需要进一步排除秩为1的可能性。

**第三步：排除秩为1** 若 \(r(A)=1\)，则任意两行成比例。观察前两行： 第一行：\((1,1,1,1)\)，第二行：\((4,3,5,-1)\)，显然不成比例，因此秩至少为2。

结合 \(r(A) \le 2\)，得： \[ r(A)=2. \]

证毕。

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## （II）求 \(a,b\) 的值及通解

因为 \(r(A)=2\)，所以三行中有一行是前两行的线性组合。把前两行记作 \(\alpha_1,\alpha_2\)，第三行记作 \(\alpha_3\)。存在不全为零的 \(k_1,k_2\) 使得： \[ \alpha_3 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2. \]

**第一步：由系数对应相等求参数** 比较各分量：

- 对于 \(x_1\)： \(a = k_1\cdot 1 + k_2\cdot 4\) - 对于 \(x_2\)： \(1 = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 3\) - 对于 \(x_3\)： \(3 = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 5\) - 对于 \(x_4\)： \(b = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot (-1)\)

先用 \(x_2,x_3\) 方程： \[ k_1 + 3k_2 = 1,\\ k_1 + 5k_2 = 3. \] 两式相减： \((k_1+5k_2) - (k_1+3k_2) = 3 - 1\) 得 \(2k_2 = 2 \Rightarrow k_2 = 1\)，代入得 \(k_1 + 3 = 1 \Rightarrow k_1 = -2\)。

于是： \[ a = -2 + 4\cdot 1 = 2,\\ b = -2 + (-1)\cdot 1 = -3. \]

**第二步：验证增广矩阵也满足线性关系** 因为方程组有解（已知有三个解当然有解），常数项也必需满足同样线性关系：对增广列，应有 \[ 1 = k_1(-1) + k_2(-1) = (-2)(-1) + 1\cdot(-1) = 2 - 1 = 1, \] 成立。所以数据自洽，方程组有解。

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**第三步：求通解** 此时方程组为： \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1,\\ 4x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = -1,\\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 - 3x_4 = 1. \end{cases} \] 因为第三行是前两行的组合，可去掉，只保留前两个有效方程，且秩为2。

取前两个方程： \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1,\\ 4x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = -1. \end{cases} \]

将 \(x_3,x_4\) 当作自由变量（因为秩2，有2个自由变量）。用第一式减第二式技巧：第二式减去第一式的4倍？我们来直接消元：

第二式减去第一式的4倍： \((4x_1+3x_2+5x_3-x_4) - 4(x_1+x_2+x_3+x_4) = -1 - 4(-1)\) 左边得： \(4x_1 -4x_1 + 3x_2 -4x_2 + 5x_3 -4x_3 -x_4 -4x_4 = -x_2 + x_3 -5x_4\) 右边： \(-1 + 4 = 3\)

因此： \[ - x_2 + x_3 - 5x_4 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = x_3 - 5x_4 - 3. \]

代入第一式： \[ x_1 + (x_3 - 5x_4 - 3) + x_3 + x_4 = -1, \] 即 \[ x_1 + 2x_3 -4x_4 -3 = -1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -2x_3 + 4x_4 + 2. \]

于是通解： \[ \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad x_3,x_4 \in \mathbb{R}. \]

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**最终答案** \[ \boxed{r(A)=2,\quad a=2,\ b=-3,\quad \text{通解为} \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\0\\0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4\\-5\\0\\1 \end{pmatrix},\ c_1,c_2\in\mathbb{R}} \]

这样就完成了整个题目的完整推理与解答。