2006年考研数学二第1题

水平渐近线是描述函数在自变量趋于无穷大（正无穷或负无穷）时，函数值趋于某一常数的一条水平直线。其定义基于极限概念：若函数$y=f(x)$满足$\lim_{x\to +\infty} f(x)=L$或$\lim_{x\to -\infty} f(x)=M$，其中$L$和$M$为有限常数，则称直线$y=L$（或$y=M$）为曲线$y=f(x)$的一条水平渐近线。 具体地，求解水平渐近线的步骤如下： 1. 计算极限$\lim_{x\to +\infty} f(x)$，若该极限存在且为有限值$L$，则$y=L$是一条水平渐近线。 2. 计算极限$\lim_{x\to -\infty} f(x)$，若该极限存在且为有限值$M$，则$y=M$是另一条水平渐近线。 3. 注意：当两个极限相等时，只有一条水平渐近线；当两个极限不相等时，有两条不同的水平渐近线；若极限不存在（如无穷大或振荡），则无水平渐近线。 例如，对于函数$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$，计算$\lim_{x\to \infty}\frac{2x+1}{x-3}=2$，$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x+1}{x-3}=2$，因此有一条水平渐近线$y=2$。 在本题中，我们需要先明确这一概念，以便后续步骤中正确求解给定函数的水平渐近线。

当前需要求极限的函数为 $y = \frac{x + 4\sin x}{5x - 2\cos x}$，其中 $x \to \infty$。首先分析分子和分母的性态：当 $x \to \infty$ 时，$x$ 项趋于无穷大，而 $\sin x$ 和 $\cos x$ 均为有界函数（取值范围在 $[-1,1]$ 之间），因此分子 $x + 4\sin x$ 和分母 $5x - 2\cos x$ 均趋于无穷大，属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。为了处理这种未定式，常用的方法是分子分母同时除以 $x$（即最高次项）。这是因为当 $x$ 很大时，$\frac{\sin x}{x}$ 和 $\frac{\cos x}{x}$ 都会趋于 $0$，从而简化极限计算。具体操作如下：将原式分子分母同除以 $x$，得到 $$y = \frac{1 + 4\cdot\frac{\sin x}{x}}{5 - 2\cdot\frac{\cos x}{x}}.$$ 此时，分子变为 $1 + 4\cdot\frac{\sin x}{x}$，分母变为 $5 - 2\cdot\frac{\cos x}{x}$。由于 $\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{x}$ 且 $\left|\frac{\cos x}{x}\right| \leq \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 0$，$\frac{\cos x}{x} \to 0$。因此，极限转化为求 $\frac{1 + 0}{5 - 0} = \frac{1}{5}$。本步骤完成了对函数形式的分析和除以 $x$ 的准备工作，为后续直接代入极限计算奠定了基础。

为了求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x + 4 \sin x}{5x - 2 \cos x}$，我们采用分子分母同除以 $x$ 的方法。这是因为当 $x \to \infty$ 时，$\sin x$ 和 $\cos x$ 都是有界函数，而 $x$ 是无穷大，因此 $\frac{\sin x}{x}$ 和 $\frac{\cos x}{x}$ 都会趋于0。 具体操作如下： 原式为 $y = \frac{x + 4 \sin x}{5x - 2 \cos x}$。 将分子和分母同时除以 $x$（注意 $x \neq 0$，当 $x \to \infty$ 时显然成立）： $$ y = \frac{\frac{x + 4 \sin x}{x}}{\frac{5x - 2 \cos x}{x}} = \frac{\frac{x}{x} + \frac{4 \sin x}{x}}{\frac{5x}{x} - \frac{2 \cos x}{x}} = \frac{1 + 4 \cdot \frac{\sin x}{x}}{5 - 2 \cdot \frac{\cos x}{x}}. $$ 因此，经过分子分母同除以 $x$ 后，原极限转化为求 $\lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot \frac{\sin x}{x}}{5 - 2 \cdot \frac{\cos x}{x}}$。这一步的关键是利用了极限的运算法则，将原分式化为一个分子和分母都含有趋于0的有界量除以 $x$ 的形式，为下一步利用 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ 和 $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$ 做准备。

本步骤的目标是利用有界函数与无穷小的乘积的性质来求极限。具体地，我们考虑极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ 和 $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$。 首先，注意到 $\sin x$ 和 $\cos x$ 都是有界函数，即对于任意实数 $x$，有 $|\sin x| \leq 1$ 和 $|\cos x| \leq 1$。而分母 $x$ 当 $x \to \infty$ 时是无穷大量，因此 $\frac{1}{x}$ 是无穷小量（当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$）。 根据极限运算法则：有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。因此， $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \sin x \cdot \frac{1}{x} \right) = 0, $$ $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \cos x \cdot \frac{1}{x} \right) = 0. $$ 这个结论是后续计算极限的基础。例如，在求 $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x + \cos x}$ 时，我们可以将分子分母同时除以 $x$，得到 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos x}{x}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1. $$ 因此，本步骤的关键是确认 $\frac{\sin x}{x}$ 和 $\frac{\cos x}{x}$ 在 $x \to \infty$ 时的极限均为 $0$，从而为后续步骤提供依据。

本步骤的目标是求出函数$y = \frac{1+x}{5-x}$的水平渐近线方程。水平渐近线由$x \to \infty$时函数值的极限决定。 首先计算当$x \to +\infty$时的极限： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{5-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(\frac{1}{x}+1)}{x(\frac{5}{x}-1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{5}{x}-1}. $$ 当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{5}{x} \to 0$，因此分子趋于$0+1=1$，分母趋于$0-1=-1$，所以极限值为$\frac{1}{-1} = -1$。 再计算当$x \to -\infty$时的极限： $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1+x}{5-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(\frac{1}{x}+1)}{x(\frac{5}{x}-1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{5}{x}-1}. $$ 当$x \to -\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{5}{x} \to 0$，同样分子趋于$1$，分母趋于$-1$，极限值也为$-1$。 因此，$\lim_{x \to \infty} y = -1$，即水平渐近线方程为$y = -1$。 注意：题目步骤概要中给出的极限计算$\lim_{x\to\infty} y = (1+0)/(5-0) = 1/5$是错误的，因为分母$5-x$在$x\to\infty$时趋于$-\infty$，正确的极限应为$-1$。最终答案应修正为水平渐近线$y = -1$。 验证：取$x=100$，$y = \frac{101}{-95} \approx -1.063$；取$x=1000$，$y = \frac{1001}{-995} \approx -1.006$，确实趋近于$-1$。