📋 详细解题步骤
目标：写出Δy和dy的表达式
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，自变量 $x$ 的增量为 $\Delta x$。则函数 $y$ 的微分 $dy$ 定义为 $dy = f'(x_0) \Delta x$，它表示函数在 $x_0$ 处切线纵坐标的增量，是函数增量 $\Delta y$ 的线性主部。
函数 $y$ 的增量 $\Delta y$ 定义为 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，它表示函数值在 $x_0$ 到 $x_0 + \Delta x$ 之间的实际变化量。
由拉格朗日中值定理，若 $f(x)$ 在 $[x_0, x_0 + \Delta x]$（或 $[x_0 + \Delta x, x_0]$）上连续，在 $(x_0, x_0 + \Delta x)$（或 $(x_0 + \Delta x, x_0)$）内可导，则存在一点 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0 + \Delta x$ 之间，使得
$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(\xi) \Delta x.$$
因此，$\Delta y$ 与 $dy$ 的关系为：
$$\Delta y - dy = [f'(\xi) - f'(x_0)] \Delta x.$$
当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x_0$，若 $f'(x)$ 连续，则 $f'(\xi) \to f'(x_0)$，从而 $\Delta y - dy = o(\Delta x)$，即 $dy$ 是 $\Delta y$ 的线性主部。
在本步骤中，我们已得到 $\Delta y$ 和 $dy$ 的表达式，为后续比较二者大小或分析误差奠定了基础。
公式：$$dy = f'(x_0)\Delta x, \quad \Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = f'(\xi)\Delta x$$
提示：注意 $\Delta y$ 是精确增量，$dy$ 是线性近似，二者之差为高阶无穷小。
目标：利用二阶导数正性判断一阶导数单调性
已知条件中给出 $f''(x) > 0$，这意味着函数 $f(x)$ 的二阶导数在区间上恒正。根据导数的几何意义，二阶导数大于零表明一阶导数 $f'(x)$ 是严格单调递增的。
现在考虑区间 $[x_0, x_0 + \Delta x]$，其中 $\Delta x > 0$。由拉格朗日中值定理可知，存在一点 $\xi \in (x_0, x_0 + \Delta x)$，使得
$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = f'(\xi).$$
由于 $f'(x)$ 在区间上严格单调递增，且 $x_0 < \xi < x_0 + \Delta x$，因此有
$$f'(x_0) < f'(\xi) < f'(x_0+\Delta x).$$
特别地，我们得到 $f'(x_0) < f'(\xi)$。
这一不等式是后续步骤中比较 $f'(x_0)$ 与差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 大小的关键。因为 $f'(\xi)$ 恰好等于该差商，所以由 $f'(x_0) < f'(\xi)$ 即可推出
$$f'(x_0) < \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
至此，我们利用二阶导数的正性成功判断了一阶导数的单调性，并得到了一个重要的不等关系。
公式：$$f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x) \text{ 严格单调递增} \Rightarrow f'(x_0) < f'(\xi) \quad (x_0 < \xi < x_0+\Delta x)$$
提示：牢记二阶导正推一阶导增，结合中值定理确定 $\xi$ 的位置关系。
目标：比较dy与Δy的大小
已知微分 $dy = f'(x_0) \Delta x$，而增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_0, x_0 + \Delta x)$ 使得 $\Delta y = f'(\xi) \Delta x$。
根据题目条件，在区间 $(x_0, x_0 + \Delta x)$ 上，$f'(x)$ 单调递增，且 $\Delta x > 0$，因此 $x_0 < \xi < x_0 + \Delta x$，从而有 $f'(x_0) < f'(\xi)$。
将不等式 $f'(x_0) < f'(\xi)$ 两边同时乘以正数 $\Delta x$，不等号方向不变，得到：
$$f'(x_0) \Delta x < f'(\xi) \Delta x$$
即 $dy < \Delta y$。
因此，在 $\Delta x > 0$ 且导函数单调递增的条件下，微分 $dy$ 小于增量 $\Delta y$。
公式：dy = f'(x_0)\Delta x, \quad \Delta y = f'(\xi)\Delta x, \quad dy < \Delta y
提示：注意Δx>0时，不等式两边同乘正数方向不变，这是比较的关键。
目标：确定dy和Δy的符号
已知函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，且$f'(x_0)>0$，自变量增量$\Delta x>0$。
首先，由微分的定义：$dy = f'(x_0) \Delta x$。因为$f'(x_0)>0$且$\Delta x>0$，所以$dy>0$。
其次，根据拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x_0$与$x_0+\Delta x$之间，使得
$$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = f'(\xi)\Delta x.$$
由于$f'(x_0)>0$且$f'(x)$在$x_0$附近连续（可导必连续），故在$x_0$的某邻域内$f'(x)>0$。当$\Delta x$充分小时，$\xi$也在此邻域内，从而$f'(\xi)>0$，因此$\Delta y>0$。
进一步，由微分与增量关系：$\Delta y = dy + o(\Delta x)$，且$dy>0$，$\Delta y>0$。又因为$\Delta y - dy = o(\Delta x)$，当$\Delta x>0$充分小时，$o(\Delta x)$与$\Delta x$相比是高阶无穷小，但符号不确定。然而，由已知条件“$dy < \Delta y$”可得$\Delta y - dy >0$，结合$dy>0$，推出$\Delta y > dy >0$。
因此，最终得到$0 < dy < \Delta y$。
公式：$$dy = f'(x_0)\Delta x, \quad \Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = f'(\xi)\Delta x$$
提示：利用微分定义和中值定理分别确定$dy$和$\Delta y$的符号，再结合已知大小关系得出最终不等式。