2006年考研数学二第8题

已知函数 $f(x)$ 在 $x \neq 0$ 处连续，且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点。设 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，我们需要判断 $F(x)$ 在全体实数上的连续性。 首先，对于任意 $x \neq 0$，由于 $f(t)$ 在 $[0,x]$ 或 $[x,0]$ 上除 $t=0$ 外连续，且 $t=0$ 是 $f(t)$ 的第一类间断点（即左右极限存在但不相等或等于函数值），因此 $f(t)$ 在任意有限区间上可积（第一类间断点不影响黎曼可积性）。于是 $F(x)$ 在 $x \neq 0$ 处由变上限积分函数的连续性可知：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上连续。因此 $F(x)$ 在 $x \neq 0$ 处连续。 关键在于 $x=0$ 处的连续性。由变上限积分函数的性质：若 $f$ 在 $x=0$ 处有第一类间断点，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处仍连续。这是因为： $$\lim_{x \to 0} F(x) = \lim_{x \to 0} \int_0^x f(t) \, dt = 0 = F(0).$$ 更严格地，由于 $f$ 在 $x=0$ 附近有界（第一类间断点保证左右极限存在，从而局部有界），对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x|<\delta$ 时，$|\int_0^x f(t)dt| \leq M|x|$（其中 $M$ 为 $f$ 在 $[-\delta,\delta]$ 上的一个上界），从而 $\lim_{x\to 0}F(x)=0$。因此 $F(x)$ 在 $x=0$ 处连续。 综上，$F(x)$ 在全体实数上连续。

已知$f(x)$是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$。设$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，要判断$F(x)$的奇偶性，需计算$F(-x)$。\n\n由定义：$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) \, dt$。\n\n作变量代换，令$u = -t$，则$t = -u$，$dt = -du$。当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = -x$时，$u = x$。代入得：\n$$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) \, dt = \int_0^{x} f(-u) \cdot (-du) = \int_0^{x} (-f(u)) \cdot (-du) = \int_0^{x} f(u) \, du = F(x).$$\n\n因此，$F(-x) = F(x)$，故$F(x)$为偶函数。

综合前两步的分析，我们已知函数$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$F(x)$是偶函数。 首先，回顾题目条件：设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有定义，且$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1$，$f(x)$在$x=0$处连续。定义$F(x)=\int_0^x (x^2-t^2)f(t)dt$。 第一步我们推导出$F(x)$的表达式： $$F(x)=x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt.$$ 第二步我们验证了$F(x)$的连续性：由于$f(t)$在$x=0$处连续，$\int_0^x f(t)dt$和$\int_0^x t^2 f(t)dt$都是连续函数，因此$F(x)$连续。 现在判断奇偶性。计算$F(-x)$： $$F(-x)=(-x)^2\int_0^{-x} f(t)dt - \int_0^{-x} t^2 f(t)dt = x^2\int_0^{-x} f(t)dt - \int_0^{-x} t^2 f(t)dt.$$ 令$u=-t$，则$t=-u$，$dt=-du$，当$t=0$时$u=0$，当$t=-x$时$u=x$。于是 $$\int_0^{-x} f(t)dt = \int_0^{x} f(-u)(-du) = -\int_0^{x} f(-u)du.$$ 但题目未给出$f$的奇偶性，因此不能直接化简。然而，我们注意到$F(x)$的定义中，被积函数$(x^2-t^2)f(t)$关于$t$的奇偶性？实际上，我们可以直接利用$F(x)$的表达式进行奇偶性判断。 考虑$F(-x)$： $$F(-x)=x^2\int_0^{-x} f(t)dt - \int_0^{-x} t^2 f(t)dt.$$ 对第一个积分，令$u=-t$，得$\int_0^{-x} f(t)dt = -\int_0^x f(-u)du$；对第二个积分，令$u=-t$，得$\int_0^{-x} t^2 f(t)dt = -\int_0^x u^2 f(-u)du$。因此 $$F(-x)=x^2\left(-\int_0^x f(-u)du\right) - \left(-\int_0^x u^2 f(-u)du\right) = -x^2\int_0^x f(-u)du + \int_0^x u^2 f(-u)du.$$ 而$F(x)=x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt$。 若$f$是偶函数，则$f(-u)=f(u)$，那么$F(-x)=-x^2\int_0^x f(u)du + \int_0^x u^2 f(u)du = -\left(x^2\int_0^x f(u)du - \int_0^x u^2 f(u)du\right) = -F(x)$，即$F$为奇函数。 若$f$是奇函数，则$f(-u)=-f(u)$，那么$F(-x)=-x^2\int_0^x (-f(u))du + \int_0^x u^2 (-f(u))du = x^2\int_0^x f(u)du - \int_0^x u^2 f(u)du = F(x)$，即$F$为偶函数。 题目条件$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1$表明$f(0)=0$且$f'(0)=1$，但并未直接给出$f$的奇偶性。然而，通过进一步分析，可以证明$f(x)$必须是奇函数。事实上，由$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1$，可知$f(x)$在$x=0$附近与$x$同号，且$f(0)=0$。若$f$是偶函数，则$f(x)=f(-x)$，那么$\lim_{x \to 0} \frac{f(-x)}{-x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{-x} = -1$，与极限为1矛盾。因此$f$不能是偶函数，只能是奇函数。所以$F(x)$为偶函数。 综上，$F(x)$连续且为偶函数，对应选项（B）。 最终答案验证：取一个满足条件的简单函数，例如$f(x)=x$，则$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$，$f$连续。计算$F(x)=\int_0^x (x^2-t^2)t dt = \int_0^x (x^2 t - t^3) dt = \left[\frac{x^2 t^2}{2} - \frac{t^4}{4}\right]_0^x = \frac{x^4}{2} - \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{4}$，显然是偶函数且连续。因此选项（B）正确。