2006年考研数学二第6题
📝 题目
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: 2 ．
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**解析**:
由 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，得 $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=2 \boldsymbol{E}$ ，两边取行列式，得 $|\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=4$ ． 因为 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)$ ，所以 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=2$ ，于是 $|\boldsymbol{B}|=2$ ．
## 二、选择题
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将矩阵方程变形为乘积形式
已知矩阵方程 $BA = B + 2E$，其中 $A$、$B$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。为了将方程转化为便于求解的乘积形式，首先将含有 $B$ 的项移到方程左边，常数项保留在右边。具体操作：从 $BA = B + 2E$ 两边同时减去 $B$，得到 $$BA - B = 2E.$$ 观察左边两项 $BA$ 和 $B$，它们都含有公因子 $B$。由于矩阵乘法满足分配律，且 $B$ 是左乘因子，因此提取公因子 $B$ 时需注意方向：$BA - B = B(A - E)$。这是因为 $B(A - E) = BA - BE = BA - B$（注意 $BE = B$）。于是方程化为 $$B(A - E) = 2E.$$ 至此，原方程已成功变形为两个矩阵乘积等于常数倍单位矩阵的形式，为后续判断矩阵可逆性及求解 $B$ 奠定了基础。
公式：$$B(A - E) = 2E$$
提示：提取公因子时注意左乘与右乘的区别，保持因子顺序与原来一致。
步骤 2/4
目标：对方程两边取行列式
已知上一步已得到矩阵方程 $B(A - E) = 2E$，其中 $A$、$B$ 均为 2 阶方阵，$E$ 为 2 阶单位矩阵。
现在对方程两边同时取行列式。根据行列式的乘法性质：对于同阶方阵 $X$、$Y$，有 $|XY| = |X| \cdot |Y|$。因此，左边 $B(A - E)$ 的行列式等于 $|B| \cdot |A - E|$。
右边 $2E$ 是数量矩阵，其行列式等于 $2^n$，其中 $n$ 为矩阵的阶数。这里 $n = 2$，所以 $|2E| = 2^2 = 4$。
于是得到：
$$
|B| \cdot |A - E| = 4.
$$
此等式将原矩阵方程转化为关于行列式的代数方程，为后续求解 $|A|$ 或 $|B|$ 提供了关键关系。
公式：|B| \cdot |A - E| = 4
提示：取行列式时注意矩阵乘法与行列式乘法的对应关系，并正确计算数量矩阵的行列式。
步骤 3/4
目标：计算矩阵A-E的行列式
首先，根据前一步骤得到的矩阵 $A - E = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，我们需要计算该矩阵的行列式 $|A - E|$。
对于二阶矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式的计算公式为 $ad - bc$。
代入 $a = 1$，$b = 1$，$c = -1$，$d = 1$，得到：
$$
|A - E| = 1 \times 1 - 1 \times (-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
$$
因此，矩阵 $A - E$ 的行列式值为 $2$。这个结果将在下一步中用于计算特征值。
公式：$$|A - E| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - 1 \times (-1) = 2$$
提示：计算二阶行列式时，注意对角线乘积相减的顺序，尤其要小心负号的处理。
步骤 4/4
目标：求解|B|的值
本步骤的目标是求解行列式 $|B|$ 的值。在前面的步骤中，我们已经推导出关系式 $|B| \cdot |A - E| = 4$，并且已知 $|A - E| = 2$。将已知条件代入该等式，得到：
$$
|B| \times 2 = 4
$$
这是一个关于 $|B|$ 的一元一次方程。为了解出 $|B|$，我们将等式两边同时除以 2（即乘以 $\frac{1}{2}$）：
$$
|B| = \frac{4}{2} = 2
$$
因此，行列式 $|B|$ 的值为 2。
**验证**：将 $|B| = 2$ 代回原关系式 $|B| \cdot |A - E| = 4$，左边为 $2 \times 2 = 4$，右边为 4，等式成立，说明求解正确。
至此，我们完成了整个题目的求解，最终答案为 $|B| = 2$。
公式：$$|B| \cdot |A - E| = 4, \quad |A - E| = 2 \quad \Rightarrow \quad |B| = \frac{4}{2} = 2$$
提示：代入已知数值后，直接解简单方程即可，注意除法运算的准确性。
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