2007年考研数学二第2题

首先，分析函数 $f(x) = \frac{\tan x}{x(x-1)}$ 的表达式。间断点可能出现在以下情况： 1. **分母为零的点**：分母为 $x(x-1)$，令其等于零，得 $x=0$ 或 $x=1$。 2. **$\tan x$ 无定义的点**：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，当 $\cos x = 0$ 时无定义，即 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$。在区间 $[-\pi, \pi]$ 内，$x = \pm \frac{\pi}{2}$ 是可能的间断点。 3. **指数部分无定义的点**：本题函数中未出现指数部分，故不考虑。 因此，所有可能的间断点为：$x=0$，$x=1$，$x=\frac{\pi}{2}$，$x=-\frac{\pi}{2}$。注意，$x=0$ 同时使分母为零且 $\tan 0 = 0$，需进一步判断是否为可去间断点。

本步骤的目标是检查四个选项中的点是否在函数定义域内，并判断它们是否为间断点。首先回顾函数表达式：$f(x)=\frac{1}{\ln|x-1|}$。该函数的定义域由分母不为零和对数真数大于零两个条件决定。 1. 对数真数条件：$|x-1|>0$，即$x \neq 1$。 2. 分母不为零条件：$\ln|x-1| \neq 0$，即$|x-1| \neq 1$，解得$x-1 \neq \pm 1$，即$x \neq 0$且$x \neq 2$。 因此，函数的定义域为：$x \neq 0, 1, 2$。 现在逐一检查各选项： - **选项A：$x=0$**。$x=0$不在定义域内（因为$\ln|0-1|=\ln1=0$，分母为零），且是函数无定义的点。由于在该点处函数无定义，且左右极限可能趋于无穷，因此$x=0$是间断点。 - **选项B：$x=1$**。$x=1$不在定义域内（因为$|1-1|=0$，对数真数为零，无定义），且是函数无定义的点。该点也是间断点。 - **选项C：$x=-\frac{\pi}{2}$**。计算$| -\frac{\pi}{2} - 1| = | -\frac{\pi+2}{2} | = \frac{\pi+2}{2} > 0$，且$\ln\frac{\pi+2}{2} \neq 0$（因为$\frac{\pi+2}{2} \neq 1$），所以$x=-\frac{\pi}{2}$在定义域内，且函数在该点连续（因为初等函数在其定义域内连续），因此不是间断点。 - **选项D：$x=\frac{\pi}{2}$**。计算$|\frac{\pi}{2} - 1| = \frac{\pi-2}{2} > 0$，且$\ln\frac{\pi-2}{2} \neq 0$（因为$\frac{\pi-2}{2} \neq 1$），所以$x=\frac{\pi}{2}$也在定义域内，函数连续，不是间断点。 因此，四个选项中属于间断点的有$x=0$和$x=1$，对应选项A和B。

我们需要分别计算函数$f(x)$在$x\to 0^+$和$x\to 0^-$时的极限。 首先考虑右极限$x\to 0^+$。当$x\to 0^+$时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，因此$e^{1/x}\to +\infty$。此时分子分母同时除以$e^{1/x}$： $$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{1/x} \cdot \frac{\tan x}{x} + 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{\tan x}{x} + e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}}.$$ 由于$\lim_{x\to 0^+} \frac{\tan x}{x} = 1$（重要极限），且$e^{-1/x}\to 0$，所以右极限为： $$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1.$$ 再考虑左极限$x\to 0^-$。当$x\to 0^-$时，$\frac{1}{x}\to -\infty$，因此$e^{1/x}\to 0$。直接代入： $$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x} \cdot \frac{\tan x}{x} + 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 \cdot 1 + 1}{0 + 1} = 1.$$ 因此左右极限都等于1，即$\lim_{x\to 0} f(x) = 1$。

由前几步计算可知，函数在 $x=0$ 处的左极限为 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1$，右极限为 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$。左右极限均存在，但不相等，因此 $x=0$ 是函数的第一类间断点，具体为跳跃间断点。对照选项，A选项为“跳跃间断点”，B选项为“可去间断点”，C选项为“无穷间断点”，D选项为“振荡间断点”。故正确答案为A。验证：跳跃间断点的定义是左右极限存在但不相等，此处左极限 $-1$，右极限 $1$，满足条件，且函数在 $x=0$ 处无定义（或定义值不影响间断点类型），因此判断无误。