2007年考研数学二第3题

首先，观察题目中给出的函数 $f(x)$ 的图形特征。根据描述，$f(x)$ 在区间 $[-3,-2]$ 上为上半圆（直径1），在 $[2,3]$ 上为下半圆（直径1）；在 $[-2,0]$ 上为下半圆（直径2），在 $[0,2]$ 上为上半圆（直径2）。整体图形关于原点对称，即对于任意 $x$ 在定义域内，图形上的点 $(x, f(x))$ 关于原点的对称点 $(-x, -f(x))$ 也在图形上。这满足奇函数的定义：$f(-x) = -f(x)$。因此，$f(x)$ 是奇函数。这一性质将在后续步骤中用于简化积分计算，例如奇函数在对称区间上的积分为零。

已知 $f(x)$ 为奇函数，即对任意 $x$ 有 $f(-x) = -f(x)$。定义 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$。要判断 $F(x)$ 的奇偶性，需计算 $F(-x)$。 由定义： $$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) \, dt.$$ 对积分作变量代换，令 $t = -u$，则 $dt = -du$，且当 $t = 0$ 时 $u = 0$，当 $t = -x$ 时 $u = x$。于是 $$F(-x) = \int_{0}^{x} f(-u) \cdot (-du) = -\int_{0}^{x} f(-u) \, du.$$ 利用 $f$ 为奇函数，$f(-u) = -f(u)$，代入得 $$F(-x) = -\int_{0}^{x} [-f(u)] \, du = \int_{0}^{x} f(u) \, du = F(x).$$ 因此 $F(-x) = F(x)$ 对所有 $x$ 成立，故 $F(x)$ 为偶函数。 注意：这里假设 $f$ 在区间上可积，且积分下限为 $0$，保证了 $F(0)=0$，但偶函数的定义并不要求 $F(0)=0$，只要求 $F(-x)=F(x)$。

根据题目已知，$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，其中$f(t)$是周期为2的周期函数，且在区间$[0,2]$上的表达式为： $$f(t)=\begin{cases} \sqrt{1-(t-1)^2}, & 0\le t\le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 这表示$f(t)$在$[0,2]$上是圆心在$(1,0)$、半径为1的上半圆。 现在需要计算$F(2)=\int_0^2 f(t)dt$。由于$f(t)$在$[0,2]$上就是上半圆的函数值，因此该积分等于上半圆的面积。上半圆的半径为1，其面积为$\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$。 因此，$F(2)=\frac{\pi}{2}$。

我们需要计算 $F(3) = \int_0^3 f(t) \, dt$。根据题目中 $f(t)$ 的定义，$f(t)$ 在区间 $[0,2]$ 上是上半圆（圆心 $(1,0)$，半径 $1$），在区间 $[2,3]$ 上是下半圆（圆心 $(2.5,0)$，半径 $0.5$）。因此，将积分分段： $$ F(3) = \int_0^2 f(t) \, dt + \int_2^3 f(t) \, dt. $$ 首先，$\int_0^2 f(t) \, dt$ 表示上半圆（半径为 $1$）的面积，即半圆面积：$\frac{1}{2} \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$。 其次，$\int_2^3 f(t) \, dt$ 表示下半圆（半径为 $0.5$）的面积。由于下半圆在 $x$ 轴下方，其面积为负值：$-\frac{1}{2} \pi \cdot (0.5)^2 = -\frac{1}{2} \pi \cdot 0.25 = -\frac{\pi}{8}$。 因此， $$ F(3) = \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}. $$ 所以 $F(3) = \dfrac{3\pi}{8}$。

已知函数$F(x)$是偶函数，即对任意$x$，有$F(-x)=F(x)$。在之前步骤中，我们已经求得$F(2)=\frac{\pi}{2}$，$F(3)=\frac{3\pi}{8}$。 根据偶函数的性质，直接可得： $$F(-2)=F(2)=\frac{\pi}{2}$$ $$F(-3)=F(3)=\frac{3\pi}{8}$$ 因此，$F(-2)$和$F(-3)$的值分别为$\frac{\pi}{2}$和$\frac{3\pi}{8}$。

将选项中的函数表达式代入已知条件进行验证。已知$F(x)$为$f(x)$的原函数，且$F(2)=\frac{\pi}{2}$，$F(3)=\frac{3\pi}{8}$，$F(-2)=\frac{\pi}{2}$，$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$。 **选项A：** $F(x)=\arctan x$，则$F(3)=\arctan 3=\frac{\pi}{3}$，而$-\frac{3}{4}F(-2)=-\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{8}$，两者不相等，故A错误。 **选项B：** $F(x)=\arctan x$，$F(3)=\frac{\pi}{3}$，$\frac{5}{4}F(2)=\frac{5}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$，不相等，故B错误。 **选项C：** $F(x)=\arctan x$，$F(-3)=\arctan(-3)=-\frac{\pi}{3}$，但题目中$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，此处需注意：实际上$F(x)$并非简单的$\arctan x$，而是满足$F(2)=\frac{\pi}{2}$，$F(3)=\frac{3\pi}{8}$，$F(-2)=\frac{\pi}{2}$，$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$的函数。代入选项C：$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，$\frac{3}{4}F(2)=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{8}$，两者相等，故C正确。 **选项D：** $F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，$-\frac{5}{4}F(-2)=-\frac{5}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{5\pi}{8}$，不相等，故D错误。 因此，正确选项为C。