2007年考研数学二第6题
📝 题目
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是（
A
若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必收敛。
B
若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必发散。
C
若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必收敛。
D
若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必发散。
💡 答案解析
**答案**: （D）．
---
**解析**:
方法一 取 $f(x)=-\ln x, f^{\prime \prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}}\gt 0, u_{1}=f$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数凸性
已知条件为 $f''(x) > 0$，根据二阶导数的几何意义，二阶导数大于零表明函数 $f(x)$ 在定义域内是严格凸函数（下凸）。凸函数的一个重要性质是：其导函数 $f'(x)$ 是单调递增的。这是因为凸函数的切线斜率随自变量增大而增大。具体地，对于任意 $x_1 < x_2$，由凸函数的定义或拉格朗日中值定理可推出 $f'(x_1) < f'(x_2)$。因此，由 $f''(x) > 0$ 可直接得到 $f'(x)$ 单调递增。这一性质在后续步骤中用于比较不同点处导数值的大小，从而判断函数值的变化趋势。
公式：f''(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{为凸函数} \Rightarrow f'(x) \text{单调递增}
提示：牢记二阶导大于0对应凸函数，导函数单调递增。
步骤 2/5
目标：讨论u1>u2情形
当$u_1 > u_2$时，即$f(1) > f(2)$。由于函数$f(x)$是凸函数（二阶导数非负），其导数$f'(x)$单调不减。由$f(1) > f(2)$可知，在区间$[1,2]$上函数值下降，因此$f'(x)$在该区间内不可能恒为正。结合$f'(x)$的单调性，$f'(x)$可能恒为负，也可能先正后负，但最终在$x \geq 2$时$f'(x)$可能仍为负或趋于零。
若$f'(x)$恒负，则数列$\{u_n\}$严格单调递减。由于凸函数递减时，其导数可能趋于一个非正极限（包括负无穷）。若$f'(x)$趋于一个负常数，则数列$\{u_n\}$将线性递减至负无穷，即发散到$-\infty$。若$f'(x)$趋于零，则数列可能收敛到某个有限值。
为说明发散的可能性，构造反例：取$f(x) = -x$，则$f'(x) = -1$恒负，$f''(x)=0$满足凸性。此时$u_1= -1$，$u_2= -2$，满足$u_1 > u_2$。递推得$u_{n+1} = -u_n$，即$u_n = (-1)^n$，数列振荡，不收敛。但此例中$f$是线性函数，凸性成立。另一反例：取$f(x) = -\sqrt{x}$（$x>0$），则$f''(x) = \frac{1}{4}x^{-3/2} > 0$，严格凸。令$u_1=4$，$u_2=2$，则$u_{n+1} = -\sqrt{u_n}$，数列负值且绝对值递减，但极限为0，收敛。因此需构造使数列发散的反例：取$f(x) = -x^2$（$x>0$），则$f''(x) = -2 < 0$，不是凸函数，故不能用。
正确反例：考虑$f(x) = -e^x$，则$f''(x) = -e^x < 0$，凹函数，不满足凸性。故需在凸函数中寻找：取$f(x) = x^2$，则$f''(x)=2>0$凸，但$f(1)=1u_2$。因此，对于凸函数且$u_1>u_2$的情形，数列可能收敛也可能发散，需进一步分析。
实际上，对于凸函数$f$，若$f'(x)$恒负且$f'(x)$有负下界，则$u_n \to -\infty$；若$f'(x) \to 0^-$，则$u_n$可能收敛。因此，$u_1>u_2$不能保证数列收敛，存在发散的可能。
公式：$$u_{n+1} = f(u_n), \quad f''(x) \geq 0, \quad u_1 > u_2$$
提示：凸函数递减时，导数单调不减，需分导数极限是否为负常数或零讨论收敛性。
步骤 4/5
目标：讨论u1
当初始值满足 $u_1 < u_2$ 时，由递推关系 $u_{n+1} = f(u_n)$ 可知 $f(1) < f(2)$。由于函数 $f(x)$ 是凸函数（即 $f''(x) > 0$），凸函数的导数 $f'(x)$ 是单调递增的。结合 $f(1) < f(2)$ 以及凸性，可以推断出 $f'(x)$ 可能恒为正（因为若在某点导数为负，则由于导数递增，左侧导数更负，会导致函数值下降，与 $f(1) < f(2)$ 矛盾）。因此，对于所有 $x$，有 $f'(x) > 0$，即 $f(x)$ 严格单调递增。
由 $u_1 < u_2$ 及 $f$ 的单调递增性，反复应用递推可得 $u_1 < u_2 < u_3 < \cdots$，即数列 $\{u_n\}$ 严格单调递增。
现在考虑数列的有界性。由于 $f(x)$ 是凸函数且单调递增，若数列有上界，则必收敛于某个不动点 $\xi$，满足 $f(\xi) = \xi$。但凸函数 $f(x)$ 的图像在切线之上，且 $f'(x) > 0$，若存在不动点，则 $f(x) > x$ 对所有 $x < \xi$ 成立，从而数列会无限接近 $\xi$ 但不会超过。然而，凸函数递增且无上界时，其增长速度会越来越快（因为导数递增），因此数列不可能有上界。事实上，对于严格递增的凸函数，若 $f(x) > x$ 对所有 $x$ 成立（即无不动点），则数列发散到 $+\infty$；若存在不动点，则数列收敛于该不动点。但由 $f(1) < f(2)$ 及凸性，可以证明 $f(x) > x$ 对所有 $x$ 成立（否则若存在 $x_0$ 使 $f(x_0) = x_0$，则凸性会导致矛盾）。因此数列无上界，必发散到 $+\infty$。
综上，当 $u_1 < u_2$ 时，数列 $\{u_n\}$ 严格单调递增且无上界，故发散。
公式：$$u_{n+1}=f(u_n),\quad f''(x)>0,\quad u_1
提示：凸函数导数递增，结合初始大小关系可判断导数恒正，从而数列单调递增且无界。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合前几步的分析，我们考虑数列$x_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$，其中$u_n$满足条件：$u_1 < u_2$，且$u_n$单调递增（由$u_1 < u_2$及递推关系可推知）。由于$u_n$单调递增且无上界（否则数列收敛，与发散条件矛盾），因此$u_n \to +\infty$。此时，对于任意$N$，存在$n > N$使得$u_n > 1$，从而部分和$x_n$的增长速度至少为线性，故$x_n \to +\infty$，即数列发散。
更严格地，由$u_{n+1} = f(u_n)$且$f(x) > x$（当$x > u_1$时），可得$u_n$严格递增。若$u_n$有上界，则收敛于某个不动点，但由$u_1 < u_2$可知不动点不存在（因为$f(x) > x$对所有$x$成立），故$u_n \to +\infty$。于是$x_n$为正向无穷级数，发散。
因此，当$u_1 < u_2$时，数列$x_n$必发散。选项D正确。
最终验证：取反例$u_1=1, u_2=2$，则$u_n$递增无界，部分和发散，符合结论。
公式：$$\lim_{n\to\infty} x_n = \infty \quad \text{当} \ u_1 < u_2$$
提示：判断数列发散时，可先证$u_n$无界，再得部分和发散。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。