2007年考研数学二第7题

首先回顾二元函数在一点处可微的定义。设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若存在常数 $A, B$，使得当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时，全增量 $\Delta z = f(x, y) - f(x_0, y_0)$ 可以表示为： $$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$$ 其中 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = y - y_0$，$o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$ 是比 $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 高阶的无穷小。等价地，可微的定义也可以写成极限形式： $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - A(x-x_0) - B(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} = 0$$ 特别地，对于本题中的点 $(0,0)$，可微定义变为：存在常数 $A, B$，使得 $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - Ax - By}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$$ 并且，如果 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $A = f_x'(0,0)$，$B = f_y'(0,0)$，即 $A, B$ 就是函数在该点的两个一阶偏导数。因此，要判断一个二元函数在 $(0,0)$ 处是否可微，通常需要先求出 $f(0,0)$、$f_x'(0,0)$ 和 $f_y'(0,0)$，然后代入上述极限式，检验极限是否等于 $0$。如果极限为 $0$，则函数可微；否则不可微。

选项(A)为：$f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续。 首先，我们需要明确题目所给条件：函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。可微是一个比连续更强的条件，即若函数在某点可微，则它在该点必然连续，但反之不成立。因此，仅由函数在 $(0,0)$ 连续并不能推出可微。 选项(A)只给出了连续这一条件，而连续是比可微弱的性质。例如，函数 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处连续，但不可微（因为偏导数不存在或方向导数不满足线性性）。所以，选项(A)不能作为函数在 $(0,0)$ 可微的充分条件。 因此，选项(A)被排除。 本题中，我们需要找出与“可微”等价的或充分必要的条件。由于可微要求存在线性逼近，即存在常数 $A,B$ 使得 $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-Ah-Bk}{\sqrt{h^2+k^2}}=0. $$ 而连续仅要求 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0). $$ 显然，后者是前者的必要条件，但不是充分条件。 综上所述，选项(A)不正确。

选项(B)为：“$f(x,y)$在$(0,0)$处的两个偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$都存在且等于$0$。”我们需要判断该条件是否足以保证$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。 首先，偏导数存在且为0是函数在一点可微的必要条件，但不是充分条件。可微的定义要求函数在该点的全增量可以表示为线性主部加上高阶无穷小，即： $$\Delta f = f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0) = f_x(0,0)\Delta x + f_y(0,0)\Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right).$$ 当$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$时，上式简化为： $$\Delta f = o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right),$$ 即要求极限 $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0.$$ 偏导数存在仅保证沿坐标轴方向的变化率存在，但无法控制其他方向的变化。例如，考虑函数 $$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\\ 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$ 容易验证$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，但沿直线$y=x$趋近时，$f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$，因此极限 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 不存在（沿$y=x$趋于$\frac{1}{2\sqrt{2}|x|}\to\infty$），故函数不可微。 因此，仅凭两个偏导数存在且为0，无法推出可微性。选项(B)是必要但不充分的条件，故应排除。

选项(C)的极限条件为： $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0. $$ 首先，由该极限存在且为0，可推出$f(h,k)$在$(0,0)$处连续，且$f(0,0)$为有限值。进一步，考虑沿坐标轴方向的极限： - 令$k=0$，则极限化为$\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{|h|}=0$，由此可得$\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$（因为分子趋于0的速度快于$|h|$，故单侧极限均为0），从而$f_x'(0,0)=0$。 - 同理，令$h=0$，可得$f_y'(0,0)=0$。 因此，在$(0,0)$处，$f$的两个一阶偏导数均为0。此时，函数$f$在$(0,0)$处的全增量可写为： $$ \Delta f = f(h,k)-f(0,0) = f(h,k)-f(0,0) - [f_x'(0,0)h + f_y'(0,0)k] = f(h,k)-f(0,0). $$ 而可微的定义要求： $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0) - [f_x'(0,0)h + f_y'(0,0)k]}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0. $$ 由于偏导数为0，上式恰好就是选项(C)所给的极限条件。因此，选项(C)的极限成立等价于$f$在$(0,0)$处可微。故选项(C)是$f$在$(0,0)$处可微的充分条件。

选项(D)的表述为：“$f(x,y)$在$(0,0)$处可微”。我们需要判断：已知条件“$f(x,y)$在$(0,0)$处沿$x$轴和$y$轴方向的偏导数存在，且$f_x(x,0)$在$x=0$处连续，$f_y(0,y)$在$y=0$处连续”是否能推出$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。 首先，回忆可微的充分条件：若函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内偏导数$f_x$和$f_y$都存在，且$f_x$和$f_y$在$(x_0,y_0)$处连续，则$f$在$(x_0,y_0)$处可微。这里要求的是二元偏导函数$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在点$(0,0)$处连续，而不仅仅是沿坐标轴方向的一元函数连续。 题目中给出的条件是：$f_x(x,0)$在$x=0$处连续，$f_y(0,y)$在$y=0$处连续。这仅表明偏导函数在坐标轴上的限制是连续的，但并不能保证$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$作为二元函数在$(0,0)$处连续。例如，可以构造一个函数，其偏导函数在$(0,0)$附近除了坐标轴外有剧烈变化，使得$f_x(x,y)$在$(0,0)$处不连续，但$f_x(x,0)$在$x=0$处连续。这样的函数在$(0,0)$处可能不可微。 因此，仅由沿坐标轴方向的偏导连续性，无法推出二元偏导函数的连续性，从而无法保证可微性。所以选项(D)不是$f(x,y)$在$(0,0)$处可微的充分条件。 综上所述，四个选项中只有选项(C)是正确选项，它给出了可微的一个充分条件。本题最终答案为(C)。