2007年考研数学二第8题

首先，分析给定的二次积分 $\int_{\pi/2}^{\pi} dx \int_{\sin x}^{1} f(x,y) dy$。该积分表示先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。由积分限可知：$x$ 的取值范围是从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$；对于每一个固定的 $x$，$y$ 的下限是 $\sin x$，上限是 $1$。因此，积分区域 $D$ 可以用不等式描述为： $$ D = \left\{ (x,y) \mid \frac{\pi}{2} \le x \le \pi,\; \sin x \le y \le 1 \right\}. $$ 为了更直观地理解区域形状，我们考虑 $x$ 在 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ 上时，$\sin x$ 的变化：当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin x = 1$；当 $x = \pi$ 时，$\sin x = 0$；且 $\sin x$ 在 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ 上单调递减。因此，区域 $D$ 是由直线 $y=1$、曲线 $y=\sin x$ 以及两条竖直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 和 $x=\pi$ 所围成的平面区域。注意，在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处，$\sin x = 1$，所以该点处 $y$ 的下限等于上限，积分退化为一条线段；而在 $x=\pi$ 处，$\sin x = 0$，此时 $y$ 从 $0$ 到 $1$。整个区域位于 $x$ 轴上方（因为 $y \ge \sin x \ge 0$），且 $y$ 的上界恒为 $1$。这个区域的形状类似于一个曲边梯形，其下边界是正弦曲线的一段，上边界是水平直线 $y=1$。明确原积分区域是后续交换积分次序或进行其他变换的基础。

首先，我们需要明确积分区域。题目中给出的积分区域由曲线 $y = \sin x$（$x \in [\pi/2, \pi]$）和直线 $y = 0$ 围成。在区间 $[\pi/2, \pi]$ 上，函数 $y = \sin x$ 是单调递减的：当 $x = \pi/2$ 时，$\sin(\pi/2) = 1$；当 $x = \pi$ 时，$\sin \pi = 0$。因此，对于每一个 $x \in [\pi/2, \pi]$，$y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $\sin x$。但本步骤的目标是确定 $y$ 的整体范围，即当 $x$ 在整个区间变化时，$y$ 所取到的所有值。由于 $\sin x$ 在 $[\pi/2, \pi]$ 上从 $1$ 递减到 $0$，所以 $y$ 的最小值为 $0$，最大值为 $1$。因此，$y$ 的整体范围是 $[0, 1]$。 为了更直观地理解，我们可以画出积分区域：在平面直角坐标系中，$x$ 轴从 $\pi/2$ 到 $\pi$，$y$ 轴从 $0$ 到 $1$。曲线 $y = \sin x$ 从点 $(\pi/2, 1)$ 下降到点 $(\pi, 0)$，与 $x$ 轴（$y=0$）围成一个曲边梯形。这个区域在 $y$ 方向上的投影就是从 $0$ 到 $1$。 因此，$y$ 的范围确定为 $[0, 1]$。

本步骤的目标是将积分区域中$x$的边界用$y$表示。已知原积分区域由曲线$y=\sin x$（$x\in[\pi/2,\pi]$）和直线$x=\pi/2$、$x=\pi$以及$y=0$围成。在交换积分次序时，我们需要将$x$表示为$y$的函数。由于$y=\sin x$在区间$[\pi/2,\pi]$上单调递减，其反函数不是直接由$\arcsin y$给出（因为$\arcsin y$的值域是$[-\pi/2,\pi/2]$）。为了得到正确的表达式，利用三角恒等式$\sin x = \sin(\pi - x)$。注意到当$x\in[\pi/2,\pi]$时，$\pi - x \in[0,\pi/2]$，恰好落在$\arcsin$的主值区间内。因此，由$y=\sin x = \sin(\pi - x)$可得$\pi - x = \arcsin y$，从而解得$x = \pi - \arcsin y$。这样，对于每一个$y\in[0,1]$，$x$的下边界为$x = \pi/2$（对应$y=1$时$\arcsin 1 = \pi/2$，$x=\pi-\pi/2=\pi/2$），上边界为$x = \pi - \arcsin y$（当$y=0$时$\arcsin 0=0$，$x=\pi$）。因此，在交换次序后的积分中，$y$从$0$到$1$，$x$从$\pi/2$到$\pi-\arcsin y$。

根据前一步确定的Y型区域描述：$0 \le y \le 1$，$\pi - \arcsin y \le x \le \pi$，将积分次序交换后的二重积分表示为先对$x$后对$y$的累次积分。 首先，外层积分变量为$y$，积分下限为$0$，上限为$1$，即$\int_0^1 dy$。 内层积分变量为$x$，对于固定的$y$，$x$从$\pi - \arcsin y$到$\pi$，即$\int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} f(x,y) dx$。 因此，交换次序后的积分为： $$ \int_0^1 dy \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} f(x,y) dx $$ 对照题目选项，该形式对应选项(B)。 最终答案验证：原积分区域为X型区域$0 \le x \le \pi$，$0 \le y \le \sin x$，交换次序后得到Y型区域，其边界曲线$y = \sin x$在$[0,\pi]$上不是单调的，需分段处理。在$[0,\pi/2]$上$x = \arcsin y$，在$[\pi/2,\pi]$上$x = \pi - \arcsin y$。由于原积分中$x$从$0$到$\pi$，$y$从$0$到$\sin x$，交换后$y$的范围为$0$到$1$，而$x$的下限对应$y = \sin x$在$[\pi/2,\pi]$上的反函数，即$x = \pi - \arcsin y$，上限为$x = \pi$，与上述结果一致。