2008年考研数学二第11题

已知方程为 $\sin(xy) + \ln(y - x) = x$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。我们需要对方程两边关于 $x$ 求导。 首先，对左边第一项 $\sin(xy)$ 求导。令 $u = xy$，则 $\frac{d}{dx}[\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}$。而 $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(xy) = y + x \frac{dy}{dx}$（乘积法则）。因此， $$\frac{d}{dx}[\sin(xy)] = \cos(xy) \cdot \left(y + x \frac{dy}{dx}\right).$$ 其次，对左边第二项 $\ln(y - x)$ 求导。令 $v = y - x$，则 $\frac{d}{dx}[\ln(v)] = \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx}$。而 $\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$。因此， $$\frac{d}{dx}[\ln(y - x)] = \frac{1}{y - x} \cdot \left(\frac{dy}{dx} - 1\right).$$ 右边 $x$ 对 $x$ 求导得 $1$。 将以上结果代入原方程两边求导后的结果，得到： $$\cos(xy)\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{y - x}\left(\frac{dy}{dx} - 1\right) = 1.$$ 这就是对方程两边关于 $x$ 求导后的结果，其中 $\frac{dy}{dx}$ 是未知的导数，需要在后续步骤中解出。

已知隐函数方程 $x^2 + y^2 - 2xy + 2x - 2y + 1 = 0$，第一步已对方程两边关于 $x$ 求导，得到： $$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2\left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2 - 2 \frac{dy}{dx} = 0.$$ 整理后为： $$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2y - 2x \frac{dy}{dx} + 2 - 2 \frac{dy}{dx} = 0.$$ 合并含 $\frac{dy}{dx}$ 的项： $$(2y - 2x - 2) \frac{dy}{dx} + (2x - 2y + 2) = 0.$$ 现在将点 $(0,1)$ 代入上式。代入 $x=0, y=1$： $$(2\cdot1 - 2\cdot0 - 2)\frac{dy}{dx} + (2\cdot0 - 2\cdot1 + 2) = 0.$$ 计算括号内： $$(2 - 0 - 2)\frac{dy}{dx} + (0 - 2 + 2) = 0,$$ 即 $$0 \cdot \frac{dy}{dx} + 0 = 0.$$ 得到恒等式 $0=0$，这说明该点处导数无法直接从此方程解出。需要重新审视求导过程或原方程。实际上，原方程可化为 $(x-y+1)^2=0$，即 $y=x+1$，因此曲线为直线。对 $y=x+1$ 求导得 $\frac{dy}{dx}=1$，所以在点 $(0,1)$ 处的切线斜率为 $1$。

已知切点坐标为 $(0,1)$，切线斜率 $k=1$。利用点斜式方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$，代入 $x_0=0$，$y_0=1$，$k=1$，得： $$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$$ 化简得： $$y - 1 = x$$ 移项得： $$y = x + 1$$ 因此，所求切线方程为 $y = x + 1$。 **验证**：将切点 $(0,1)$ 代入方程 $y = x + 1$，左边 $y=1$，右边 $0+1=1$，等式成立，说明切点在切线上。同时，斜率 $k=1$ 与导数计算结果一致，故切线方程正确。