💡 答案解析
**答案**: $C x-x \mathrm{e}^{-x}$ ．
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**解析**:
方法一 由 $\left(y+x^{2} \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ，得 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\displaystyle\frac{1}{x} y=x \mathrm{e}^{-x}$ ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得原方程的通解为
$$
y=\left(\int x \mathrm{e}^{-x} \cdot \mathrm{e}^{\int-\frac{\mathrm{d} x}{x}} \mathrm{~d} x+C\right) \mathrm{e}^{-\int-\frac{\mathrm{d} x}{x}}=C x-x \mathrm{e}^{-x}
$$
方法二 由 $\left(y+x^{2} \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ，得 $x y^{\prime}-y=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ 或 $\displaystyle\frac{x y^{\prime}-y}{x^{2}}=\mathrm{e}^{-x}$ ，于是 $\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{-x}$ ，积分得 $\displaystyle\frac{y}{x}=-\mathrm{e}^{-x}+C$ ，故原方程通解为 $y=C x-x \mathrm{e}^{-x}$ ．
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📋 详细解题步骤
目标：将微分方程化为标准形式
原方程为：
$$
(y + x^2 e^{-x}) \, dx - x \, dy = 0.
$$
首先，将方程整理为含有 $dy$ 和 $dx$ 的项分开的形式。将 $-x \, dy$ 移到等号另一边，得到：
$$
(y + x^2 e^{-x}) \, dx = x \, dy.
$$
为了得到 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式，两边同时除以 $x \, dx$（假设 $x \neq 0$）：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y + x^2 e^{-x}}{x}.
$$
将右边分式拆开：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x^2 e^{-x}}{x} = \frac{y}{x} + x e^{-x}.
$$
现在，将含有 $y$ 的项移到左边，其余项移到右边，得到一阶线性微分方程的标准形式：
$$
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x e^{-x}.
$$
至此，原方程已化为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x e^{-x}$。
公式：\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x e^{-x}
提示：移项时注意每一项的符号，分式拆分要逐项除以分母。
目标：识别方程类型并选择解法
观察所给微分方程，其形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 均为已知函数。具体地，方程可写为 $y' + \frac{1}{x}y = \frac{\sin x}{x}$。这里 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$。由于方程中 $y'$ 的系数为1，且 $y$ 及其导数均为一次项，没有出现 $y^2$ 或 $y y'$ 等非线性项，因此该方程属于一阶线性微分方程。又因为右端项 $Q(x) \neq 0$，所以它是一阶非齐次线性微分方程。对于此类方程，有两种常用解法：一是直接套用一阶非齐次线性微分方程的通解公式：$y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)$；二是采用凑导数法（常数变易法），即先解对应的齐次方程 $y' + P(x)y = 0$ 得到通解 $y = Ce^{-\int P(x)\,dx}$，再将常数 $C$ 变易为函数 $C(x)$，代入原方程求解 $C(x)$。两种方法本质相同，但公式法更为直接。本题中，$\int P(x)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|$，因此积分因子为 $e^{\int P(x)\,dx} = e^{\ln|x|} = |x|$，通常取 $x$（考虑 $x>0$ 或 $x<0$ 时符号可被常数吸收）。于是通解公式中的 $e^{-\int P(x)\,dx} = \frac{1}{x}$，$e^{\int P(x)\,dx} = x$。代入公式得 $y = \frac{1}{x}\left(\int \frac{\sin x}{x} \cdot x\,dx + C\right) = \frac{1}{x}\left(\int \sin x\,dx + C\right) = \frac{1}{x}(-\cos x + C)$。因此，选择通解公式法可快速得到结果。
公式：一阶非齐次线性微分方程通解公式：$$y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)$$
提示：先判断方程是否为线性，再根据Q(x)是否为零区分齐次与非齐次。
目标：应用通解公式求解
已知一阶线性微分方程的标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中已确定 $P = -\frac{1}{x}$，$Q = x e^{-x}$。通解公式为：
$$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$$
首先计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P dx}$：
$$\int P dx = \int \left(-\frac{1}{x}\right) dx = -\ln|x| = \ln|x^{-1}|$$
因此 $\mu(x) = e^{\ln|x^{-1}|} = \frac{1}{|x|}$。通常我们取正数解，故取 $\mu(x) = \frac{1}{x}$（$x>0$）。
代入公式：
$$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right) = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int Q \mu(x) dx + C \right)$$
即
$$y = x \left( \int x e^{-x} \cdot \frac{1}{x} dx + C \right) = x \left( \int e^{-x} dx + C \right)$$
计算积分：
$$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C_1$$
因此
$$y = x \left( -e^{-x} + C \right) = -x e^{-x} + C x$$
故通解为 $y = Cx - x e^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：$$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$$
提示：先单独计算积分因子，再代入公式，避免符号混乱。
目标：化简得到最终通解
在前三步中，我们已经利用常数变易法求得了非齐次线性微分方程的一个特解 $y^* = -x e^{-x}$，以及对应齐次方程的通解 $Y = Cx$。因此，原非齐次方程的通解为 $y = Y + y^* = Cx - x e^{-x}$。
为了验证该解的正确性，我们将其代入原方程。设 $y = Cx - x e^{-x}$，则 $y' = C - e^{-x} + x e^{-x}$。代入原方程 $x y' - y = x^2 e^{-x}$ 的左端：
$$x y' - y = x(C - e^{-x} + x e^{-x}) - (Cx - x e^{-x}) = Cx - x e^{-x} + x^2 e^{-x} - Cx + x e^{-x} = x^2 e^{-x}.$$
结果等于右端，验证正确。
因此，所求微分方程的通解为 $y = Cx - x e^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：y = Cx - x e^{-x}
提示：最后一步务必代入原方程验证，确保解的正确性。