2008年考研数学二第9题

当 $x \to 0$ 时，已知 $x f(x) \to 0$，因此 $x f(x)$ 是无穷小量。利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$1 - \cos u \sim \frac{1}{2} u^2$。令 $u = x f(x)$，则 $$1 - \cos[x f(x)] \sim \frac{1}{2} [x f(x)]^2.$$ 同时，当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，利用等价无穷小替换：当 $v \to 0$ 时，$e^v - 1 \sim v$。令 $v = x^2$，则 $$e^{x^2} - 1 \sim x^2.$$ 这两个等价替换是后续计算极限的基础，将原极限中的复杂函数替换为简单的幂函数形式，从而简化极限表达式。

根据第一步得到的等价无穷小关系：当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x^2 f(x)) \sim x^2 f(x)$，且 $1 - \cos(x f(x)) \sim \frac{1}{2} (x f(x))^2 = \frac{1}{2} x^2 f^2(x)$。将这两个等价无穷小代入原极限表达式： 原极限为 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x f(x))}{\ln(1 + x^2 f(x))}. $$ 代入后得到 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^2 f^2(x)}{x^2 f(x)}. $$ 注意，这里我们只替换了分子和分母中的无穷小因子，极限过程 $x \to 0$ 保持不变。由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近有定义且 $f(x) \neq 0$（否则原极限可能无意义），我们可以对表达式进行化简。分子分母同时约去 $x^2$（当 $x \neq 0$ 时 $x^2 > 0$，约去不影响极限），得到 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} f^2(x)}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} f(x). $$ 因此，代入后的极限表达式简化为 $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} f(x)$。这一步的关键在于正确使用等价无穷小替换，并注意替换后表达式中的 $x^2$ 项可以约去，从而将问题转化为求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的极限。

在前一步中，我们通过等价无穷小代换将原极限转化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 f(x)}{2x^2}. $$ 此时分子和分母都含有因子 $x^2$，且 $x \to 0$ 时 $x^2 \neq 0$（注意极限过程中 $x$ 趋近于0但不等于0），因此可以直接约去分子分母中的公因式 $x^2$。 具体操作如下： $$ \frac{x^2 f(x)}{2x^2} = \frac{f(x)}{2} \cdot \frac{x^2}{x^2} = \frac{f(x)}{2} \cdot 1 = \frac{f(x)}{2}. $$ 于是原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 f(x)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2}. $$ 根据极限的运算法则，常数因子可以提到极限号外面，即： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} f(x). $$ 至此，我们完成了约分化简，将原极限表达式简化为 $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} f(x)$ 的形式。这一步的关键是识别出分子分母中的公因式 $x^2$，并利用极限的线性性质将常数因子 $\frac{1}{2}$ 提出。注意，约分的前提是 $x^2 \neq 0$，在极限过程中 $x$ 趋近于0但始终不等于0，因此该操作是合法的。

已知函数$f(x)$在$x=0$处连续，根据连续性的定义，有$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$。前一步已求得极限$\lim_{x\to 0} f(x) = 1$，因此$f(0) = 1$。但注意题目中给出的极限关系为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{2} f(x) = 1$，即$\frac{1}{2} \lim_{x\to 0} f(x) = 1$，所以$\lim_{x\to 0} f(x) = 2$。由连续性，$f(0) = \lim_{x\to 0} f(x) = 2$。因此解得$f(0) = 2$。验证：将$f(0)=2$代入原极限表达式，$\lim_{x\to 0} \frac{1}{2} f(x) = \frac{1}{2} \times 2 = 1$，与已知条件一致，结果正确。