2008年考研数学二第1题

已知函数 $f(x)=x^2(x-1)(x-2)$，这是一个多项式函数，由三个因式相乘组成。为了求导，我们采用乘积法则。令 $u(x)=x^2$，$v(x)=(x-1)(x-2)$，则 $f(x)=u(x)v(x)$。根据乘积法则：$(uv)'=u'v+uv'$。 首先求 $u'(x)$：$u(x)=x^2$，所以 $u'(x)=2x$。 然后求 $v'(x)$：$v(x)=(x-1)(x-2)$，再次应用乘积法则。令 $p(x)=x-1$，$q(x)=x-2$，则 $p'(x)=1$，$q'(x)=1$，所以 $v'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)=1\cdot(x-2)+(x-1)\cdot1=(x-2)+(x-1)=2x-3$。 现在代入乘积法则： $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot(x-1)(x-2)+x^2\cdot(2x-3)$$ 为了与题目给出的形式一致，我们将 $x^2\cdot(2x-3)$ 展开为 $x^2\cdot[(x-2)+(x-1)]$，即 $x^2(x-2)+x^2(x-1)$。因此： $$f'(x)=2x(x-1)(x-2)+x^2(x-2)+x^2(x-1)$$ 这样就得到了导函数的表达式。

首先，回顾上一步求得的导函数表达式： $$f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x$$ 观察各项，发现每一项都含有公因子 $x$，因此提取公因子 $x$： $$f'(x) = x(4x^2 - 9x + 4)$$ 接下来，检查括号内的二次多项式 $4x^2 - 9x + 4$ 是否可以进一步因式分解。计算判别式： $$\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 81 - 64 = 17$$ 由于 $\Delta = 17$ 不是完全平方数，因此该二次多项式在有理数范围内无法分解为整系数一次因式的乘积。故化简到此为止。 因此，化简后的导函数为： $$f'(x) = x(4x^2 - 9x + 4)$$ 此形式便于后续步骤中求导函数的零点（即令 $f'(x)=0$ 解方程）。

令 $f'(x)=0$，即 $x(4x^2-9x+4)=0$。 首先，由 $x=0$ 得到一个零点 $x_1=0$。 其次，解二次方程 $4x^2-9x+4=0$。使用求根公式： $$x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot4\cdot4}}{2\cdot4}=\frac{9\pm\sqrt{81-64}}{8}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{8}$$ 因此，另外两个零点为： $$x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{8},\quad x_3=\frac{9+\sqrt{17}}{8}$$ 综上，方程 $f'(x)=0$ 的三个零点为： $$x=0,\quad x=\frac{9-\sqrt{17}}{8},\quad x=\frac{9+\sqrt{17}}{8}$$

由前几步分析可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内共有三个零点。具体地，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内有一个零点，在 $(0, 1)$ 内有一个零点，在 $(1, +\infty)$ 内有一个零点。因此，零点个数为 $3$。 现在对照选项： - (A) 0 - (B) 1 - (C) 2 - (D) 3 显然，只有选项 (D) 符合零点个数为 $3$ 的结论。 最终答案验证：令 $f(x)=x^2-\ln x -1$，$x>0$。通过求导 $f'(x)=2x-\frac{1}{x}$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。计算 $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}-\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-1 = -\frac{1}{2}-\ln\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$。又 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$，$f(1)=0$，$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$，结合单调性可知：在 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，由 $+\infty$ 递减至负值，必有一个零点；在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ 上 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，由负值递增至 $0$，但 $f(1)=0$ 已是一个零点，故该区间内无新增零点；在 $(1, +\infty)$ 上 $f'(x)>0$，$f(x)$ 从 $0$ 递增至 $+\infty$，又有一个零点。因此，除去 $x=1$ 这个零点外，还有两个零点，总共 $3$ 个零点。 故正确答案为 (D)。