2008年考研数学二第2题

首先，我们考虑定积分 $\int_0^a x f'(x) \, dx$。为了应用分部积分法，我们令 $u = x$，$dv = f'(x) \, dx$。则对 $u$ 求微分得 $du = dx$；对 $dv$ 积分得 $v = f(x)$。分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。代入得： $$\int_0^a x f'(x) \, dx = \left[ x f(x) \right]_0^a - \int_0^a f(x) \, dx.$$ 计算边界项：$\left[ x f(x) \right]_0^a = a f(a) - 0 \cdot f(0) = a f(a)$。因此， $$\int_0^a x f'(x) \, dx = a f(a) - \int_0^a f(x) \, dx.$$ 这样，我们就把原积分转化成了 $a f(a)$ 减去 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上的定积分的形式。这一步是后续计算的基础，通过分部积分将含有导数的积分转化为不含导数的积分，便于利用已知条件进一步求解。

设函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续且单调递减，且 $f(x)>0$。在直角坐标系中，$x$ 轴、$y$ 轴、直线 $x=a$ 以及曲线 $y=f(x)$ 围成一个曲边梯形 $OABD$，其中 $O(0,0)$，$A(a,0)$，$B(a,f(a))$，$D(0,f(0))$。矩形 $OACD$ 的顶点为 $O(0,0)$，$A(a,0)$，$C(a,f(a))$，$D(0,f(a))$。 矩形 $OACD$ 的面积为 $a \cdot f(a)$，即 $a f(a)$。曲边梯形 $OABD$ 的面积为定积分 $\int_0^a f(x) \, dx$。由于 $f(x)$ 单调递减，在区间 $[0,a]$ 上 $f(x) \ge f(a)$，因此矩形面积 $a f(a)$ 小于曲边梯形面积 $\int_0^a f(x) \, dx$。 两者之差 $\int_0^a f(x) \, dx - a f(a)$ 在几何上表示曲边梯形 $OABD$ 减去矩形 $OACD$ 后剩余部分的面积。剩余部分是由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$ 以及线段 $CD$（从 $C(a,f(a))$ 到 $D(0,f(a))$ 的水平线段）围成的曲边三角形 $ACD$（注意：$A$ 为 $(a,0)$，$C$ 为 $(a,f(a))$，$D$ 为 $(0,f(a))$，但曲边三角形的曲边为 $y=f(x)$ 从 $x=0$ 到 $x=a$ 的一段，实际上该区域是 $x$ 从 $0$ 到 $a$，$y$ 从 $f(a)$ 到 $f(x)$ 的部分，即曲边三角形 $ACD$ 的面积。 因此，$\int_0^a f(x) \, dx - a f(a)$ 的几何意义就是曲边三角形 $ACD$ 的面积。根据题目选项，应选（C）。 最终答案验证：由题意，$\int_0^a f(x) \, dx$ 与 $a f(a)$ 的差对应图中曲边三角形面积，选项（C）正确。