2008年考研数学二第3题

已知三阶常系数线性齐次微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$，其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。根据常系数线性齐次微分方程解的结构，通解中的每一项对应一个特征根：指数函数 $e^{\lambda x}$ 对应实特征根 $\lambda$；三角函数 $\cos \beta x$ 和 $\sin \beta x$ 对应一对共轭复特征根 $\alpha \pm i\beta$，且当 $\alpha = 0$ 时，简化为 $\pm i\beta$。 观察通解： - 第一项 $C_1 e^x$ 对应特征根 $\lambda_1 = 1$（实根）。 - 第二项 $C_2 \cos 2x$ 和第三项 $C_3 \sin 2x$ 共同对应一对共轭复根，其中 $\beta = 2$，$\alpha = 0$，因此特征根为 $\lambda_{2,3} = \pm 2i$。 因此，该微分方程的特征根为：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2i$，$\lambda_3 = -2i$。 注意：特征根是求解微分方程特征方程得到的根，通解的形式直接反映了特征根的类型。对于实根 $\lambda$，解中对应 $e^{\lambda x}$；对于共轭复根 $\alpha \pm i\beta$，解中对应 $e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$。本题中 $\alpha = 0$，故简化为 $C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$。

根据步骤1中求出的特征根：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2i$，$\lambda_3 = -2i$，写出对应的特征方程。 特征方程是由特征根构造的因式乘积形式。对于单实根 $\lambda = 1$，对应的因式为 $(\lambda - 1)$；对于一对共轭复根 $\lambda = \pm 2i$，对应的因式为 $(\lambda - 2i)(\lambda + 2i) = \lambda^2 + 4$。 因此，特征方程为： $$(\lambda - 1)(\lambda^2 + 4) = 0$$ 展开验证： $$(\lambda - 1)(\lambda^2 + 4) = \lambda^3 + 4\lambda - \lambda^2 - 4 = \lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4$$ 所以特征方程也可写为： $$\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$$

本步骤的目标是将特征多项式 $(\lambda-1)(\lambda^2+4)$ 展开为标准的整系数多项式形式。首先，我们利用乘法分配律逐项展开：将第一个因子 $\lambda-1$ 中的每一项分别乘以第二个因子 $\lambda^2+4$ 中的每一项。具体过程如下： 第一步，用 $\lambda$ 乘以 $(\lambda^2+4)$ 得到 $\lambda \cdot \lambda^2 + \lambda \cdot 4 = \lambda^3 + 4\lambda$。 第二步，用 $-1$ 乘以 $(\lambda^2+4)$ 得到 $(-1) \cdot \lambda^2 + (-1) \cdot 4 = -\lambda^2 - 4$。 第三步，将上述两个结果相加：$(\lambda^3 + 4\lambda) + (-\lambda^2 - 4) = \lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4$。 因此，展开后的特征方程为 $\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$。注意，该多项式已按降幂排列，且没有同类项可合并，故展开完成。

由特征方程 $\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$ 反推对应的常系数齐次线性微分方程。特征方程的一般形式为 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0$，对应的微分方程为 $y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0$。 本题特征方程中最高次项为 $\lambda^3$，故微分方程阶数为3。将特征方程各项系数对应到微分方程： - $\lambda^3$ 对应 $y'''$，系数为1； - $-\lambda^2$ 对应 $-y''$； - $+4\lambda$ 对应 $+4y'$； - $-4$ 对应 $-4y$。 因此微分方程为： $$ y''' - y'' + 4y' - 4y = 0. $$ 验证：将特征方程 $\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$ 因式分解为 $(\lambda-1)(\lambda^2+4)=0$，解得特征根 $\lambda_1=1$，$\lambda_{2,3}=\pm 2i$，这与题目中给出的通解形式 $y=C_1e^x + C_2\cos 2x + C_3\sin 2x$ 完全吻合。因此选项 (D) 正确。