2008年考研数学二第22题
📝 题目
设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & & \\
& a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$
（I）证明行列式 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ；
（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$ ；
（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）方法一 数学归纳法
当 $n=1$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{1}=2 a$ ，结论显然成立； 设当 $n=k$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{k}=(k+1) a^{k}$ ； 当 $n=k+1$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{k+1}=2 a D_{k}-a^{2} D_{k-1}=2 a(k+1) a^{k}-k a^{k+1}$
$$ =2(k+1) a^{k+1}-k a^{k+1}=(k+2) a^{k+1}, $$
由数学归纳法，对一切的自然数 $n$ ，有 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ． 方法二 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{3 a}{2} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a\end{array}\right|$
$$ =\cdots=\left|\begin{array}{ccccc} 2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{3 a}{2} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4 a}{3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{(n+1) a}{n} \end{array}\right|=(n+1) a^{n} . $$
方法三 令 $D_{n}=|\boldsymbol{A}|$ ，将 $D_{n}$ 按第一列展开，得 $D_{n}=2 a D_{n-1}-a^{2} D_{n-2}$ ，从而 $D_{n}-a D_{n-1}=a\left(D_{n-1}-a D_{n-2}\right)$ ，由递推关系得
$$ D_{n}-a D_{n-1}=a\left(D_{n-1}-a D_{n-2}\right)=\cdots=a^{n-2}\left(D_{2}-a D_{1}\right)=a^{n}, $$
于是 $D_{n}=a D_{n-1}+a^{n}=a\left(a D_{n-2}+a^{n-1}\right)+a^{n}=a^{2} D_{n-2}+2 a^{n}$
$$ =\cdots=a^{n-1} D_{1}+(n-1) a^{n}=(n+1) a^{n} . $$
（II）当 $r(\boldsymbol{A})=n$ 或 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，即 $a \neq 0$ 时，方程组有唯一解， 由 $D_{1}=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a\end{array}\right|=n a^{n-1}$ ，得 $x_{1}=\displaystyle\frac{D_{1}}{D}=\displaystyle\frac{n}{(n+1) a}$ ． （III）当 $r(\boldsymbol{A})\lt n$ 或 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，即 $a=0$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有无数个解， $\overline{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{ccccc:c}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right)$ ，原方程组的通解为 $\boldsymbol{X}=C\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$（其中 $C$ 为任意常数）．
方法点评：本题需要特别注意三对角行列式的计算方法，通常三对角行列式的计算方法有按行或列展开、归纳法等。