2008年考研数学二第23题

解答题 · 10分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $A\alpha_{3}= {\alpha}_{2}+{\alpha}_{3}$. （I）证明 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关； （II）令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ ．

💡 答案解析

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（23）【详解】（I） 证法一：假设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关．因为 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别属于不同特征值的特征向量，故 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，则 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表出，不妨设 $\alpha_3=l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2$ ，其中 $l_1, l_2$ 不全为零（若 $l_1, l_2$ 同时为 0 ，则 $\alpha_3$ 为 0 ，由 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$ 可知 $\alpha_2=0$ ，而特征向量都是非 0 向量，矛盾）

$$ \begin{aligned} & \because A \alpha_1=-\alpha_1, A \alpha_2=\alpha_2 \\ & \therefore A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3=\alpha_2+l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2, \text { 又 } A \alpha_3=A\left(l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2\right)=-l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2 \\ & \therefore-l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2=\alpha_2+l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2, \text { 整理得: } 2 l_1 \alpha_1+\alpha_2=0 \end{aligned} $$

则 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关，矛盾．所以，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关．

证法二：设存在数 $k_1, k_2, k_3$ ，使得 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3=0$ (1)

用 $A$ 左乘（1）的两边并由 $A \alpha_1=-\alpha_1, A \alpha_2=\alpha_2$ 得

$$ \begin{array}{ll} & -k_1 \alpha_1+\left(k_2+k_3\right) \alpha_2+k_3 \alpha_3=0 \qquad(2)\\ (1)-(2) \text { 得 } & 2 k_1 \alpha_1-k_3 \alpha_2=0 \qquad(3) \end{array} $$

因为 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的属于不同特征值的特征向量，所以 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，从而 $k_1=k_3=0$ ，代入（1）得 $k_2 \alpha_2=0$ ，又由于 $\alpha_2 \neq 0$ ，所以 $k_2=0$ ，故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关． （II）记 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $P$ 可逆， $$ \begin{aligned} A P & =A\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(A \alpha_1, A \alpha_2, A \alpha_3\right)=\left(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3\right) \\ & =\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) . \end{aligned} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：证明α1, α2线性无关
已知$\alpha_1$是矩阵$A$属于特征值$\lambda_1 = -1$的特征向量，$\alpha_2$是矩阵$A$属于特征值$\lambda_2 = 1$的特征向量，即满足$A\alpha_1 = -\alpha_1$，$A\alpha_2 = \alpha_2$。由于$-1 \neq 1$，即$\alpha_1$与$\alpha_2$属于不同特征值。根据线性代数中关于特征向量的重要性质：属于不同特征值的特征向量必定线性无关。下面给出严格证明。 假设存在数$k_1, k_2$使得$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$。用矩阵$A$左乘该等式两边，得到$k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 = 0$，代入特征关系得$k_1(-\alpha_1) + k_2(\alpha_2) = 0$，即$-k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$。 将原等式$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$与上式联立，两式相减（或相加）消去$k_2\alpha_2$： $(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2) - (-k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2) = 0 - 0$， 得$2k_1\alpha_1 = 0$。由于特征向量$\alpha_1 \neq 0$，所以$2k_1 = 0$，即$k_1 = 0$。 将$k_1 = 0$代入原等式$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$，得$k_2\alpha_2 = 0$，又$\alpha_2 \neq 0$，故$k_2 = 0$。 因此，只有当$k_1 = k_2 = 0$时线性组合为零，所以$\alpha_1, \alpha_2$线性无关。
公式：k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = 0
提示：不同特征值的特征向量必线性无关，用反证法或方程组法证明。
步骤 2/6
目标：假设α1, α2, α3线性相关并推出矛盾（证法一）
假设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关。由于已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，则 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表出，即存在数 $l_1, l_2$ 使得 $$ \alpha_3 = l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2. $$ 将上式代入已知条件 $A\alpha_3 = \alpha_2 + \alpha_3$，得 $$ A(l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2) = \alpha_2 + (l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2). $$ 利用线性性质，左边为 $l_1 A\alpha_1 + l_2 A\alpha_2$。由题设 $A\alpha_1 = -\alpha_1$，$A\alpha_2 = \alpha_2$，代入得 $$ l_1(-\alpha_1) + l_2 \alpha_2 = \alpha_2 + l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2. $$ 整理左边：$-l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2$。将右边所有项移到左边： $$ (-l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2) - (\alpha_2 + l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2) = 0, $$ 即 $$ (-l_1 - l_1)\alpha_1 + (l_2 - 1 - l_2)\alpha_2 = 0, $$ 化简得 $$ -2l_1 \alpha_1 - \alpha_2 = 0, $$ 即 $$ 2l_1 \alpha_1 + \alpha_2 = 0. $$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，上式成立必须系数全为零，即 $2l_1 = 0$ 且 $1 = 0$。$1=0$ 显然矛盾。因此假设不成立，故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
公式：$$2l_1 \alpha_1 + \alpha_2 = 0$$
提示：利用线性无关的定义，令系数为零得到矛盾，注意符号运算。
步骤 4/6
目标：计算AP
已知矩阵 $A$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 满足关系： $$A\alpha_1 = -\alpha_1, \quad A\alpha_2 = \alpha_2, \quad A\alpha_3 = \alpha_2 + \alpha_3.$$ 设 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即 $P$ 是以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为列向量的矩阵。则乘积 $AP$ 按列分块为： $$AP = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3).$$ 代入已知关系得： $$A\alpha_1 = -\alpha_1, \quad A\alpha_2 = \alpha_2, \quad A\alpha_3 = \alpha_2 + \alpha_3.$$ 因此 $$AP = (-\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_2 + \alpha_3).$$ 将结果写成矩阵形式： $$AP = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 即 $AP = PB$，其中 $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$$AP = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = (-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3) = P\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：将矩阵乘法按列分块处理，直接代入已知的向量变换关系。
步骤 5/6
目标：将AP表示为P乘以一个矩阵
已知矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即 $P$ 是由列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 按顺序排列构成的矩阵。我们需要将 $AP$ 表示为 $P$ 乘以某个矩阵 $B$ 的形式，即 $AP = PB$。 首先计算 $AP$： $$AP = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3).$$ 根据题目条件，已知 $A\alpha_1 = -\alpha_1$，$A\alpha_2 = \alpha_2$，$A\alpha_3 = \alpha_2 + \alpha_3$，因此 $$AP = (-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3).$$ 现在我们要将列向量组 $(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3)$ 表示为 $P$ 右乘一个矩阵 $B$ 的形式。设 $B = (b_{ij})_{3\times 3}$，则 $PB = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) B$ 的第 $j$ 列等于 $\alpha_1 b_{1j} + \alpha_2 b_{2j} + \alpha_3 b_{3j}$。 比较 $AP$ 的第一列：$(-\alpha_1)$ 应等于 $\alpha_1 b_{11} + \alpha_2 b_{21} + \alpha_3 b_{31}$。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关（题目隐含条件），系数必须对应相等，因此 $b_{11} = -1$，$b_{21} = 0$，$b_{31} = 0$。 第二列：$\alpha_2$ 应等于 $\alpha_1 b_{12} + \alpha_2 b_{22} + \alpha_3 b_{32}$，得 $b_{12}=0$，$b_{22}=1$，$b_{32}=0$。 第三列：$\alpha_2+\alpha_3$ 应等于 $\alpha_1 b_{13} + \alpha_2 b_{23} + \alpha_3 b_{33}$，得 $b_{13}=0$，$b_{23}=1$，$b_{33}=1$。 因此矩阵 $B$ 为 $$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 于是有 $$AP = P \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$$AP = P \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：利用线性无关性，逐列比较系数，即可快速确定右乘矩阵。
步骤 6/6
目标：得出P^{-1}AP
由前一步骤已得到关系式 $AP = P \cdot B$，其中 $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。为了求出 $P^{-1}AP$，我们在等式两边同时左乘 $P^{-1}$，即 $$ P^{-1}(AP) = P^{-1}(P B). $$ 根据矩阵乘法的结合律，左边为 $(P^{-1}A)P$，右边为 $(P^{-1}P)B = I B = B$。因此得到 $$ (P^{-1}A)P = B. $$ 但注意，我们需要的实际上是 $P^{-1}AP$，而 $(P^{-1}A)P$ 正是 $P^{-1}AP$，因为矩阵乘法满足结合律：$P^{-1}AP = (P^{-1}A)P$。所以直接有 $$ P^{-1}AP = B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 至此，我们完成了将矩阵 $A$ 通过相似变换 $P^{-1}AP$ 化为 Jordan 标准形 $B$ 的过程。验证：由于 $P$ 可逆，$B$ 即为 $A$ 的 Jordan 标准形，其对角线元素为特征值 $-1$（一重）和 $1$（二重），且 $1$ 对应的 Jordan 块大小为 $2$，与题目中 $A$ 的代数重数和几何重数一致。最终答案即为 $B$。
公式：P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：左乘 $P^{-1}$ 时注意等式两边同时左乘，且利用结合律直接得到结果。

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