2009年考研数学二第12题

填空题 · 4分

📝 题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+\mathrm{e}^{y}=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**: -3 ．

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**解析**:

当 $x=0$ 时，$y=0$ ． $x y+\mathrm{e}^{y}=x+1$ 两边对 $x$ 求导数，得 $y+x \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{y} \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ ，将 $x=0, y=0$ 代人得 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=1$ ． $y+x \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{y} \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 两边再对 $x$ 求导数，得 $2 \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+x \displaystyle\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\mathrm{e}^{y}\left(\displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^{2}+\mathrm{e}^{y} \displaystyle\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=0$ ，将 $x=0, y=0$ 代人得 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=-3$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 1/3

目标：确定x=0时对应的y值

首先，我们已知原方程为： $$xy + e^y = x + 1$$ 为了确定当$x=0$时对应的$y$值，我们将$x=0$代入方程。代入后，方程变为： $$0 \cdot y + e^y = 0 + 1$$ 即： $$e^y = 1$$ 由于指数函数$e^y$是单调递增的，且$e^0 = 1$，因此方程$e^y = 1$的解为$y = 0$。所以，当$x=0$时，对应的$y$值为$0$。这一步是后续求解隐函数导数的基础，因为我们需要利用该点$(0,0)$来计算导数。

公式：$$e^y = 1 \Rightarrow y = 0$$

提示：代入$x=0$时，注意$xy$项直接为零，简化方程。

步骤 2/3

目标：求一阶导数并代入求值

已知隐函数方程 $xy + e^y = x + 1$，且 $y = y(x)$。对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此求导时需使用隐函数求导法则。对左边第一项 $xy$ 求导，应用乘积法则：$(xy)' = y + x \cdot y'$。对左边第二项 $e^y$ 求导，由链式法则得 $(e^y)' = e^y \cdot y'$。对右边 $x+1$ 求导，得 $1$。因此求导后的方程为： $$ y + x y' + e^y y' = 1. $$ 题目已知当 $x=0$ 时，$y=0$（由原方程代入 $x=0$ 可得 $0 + e^0 = 0 + 1$，即 $1=1$，成立）。将 $x=0$，$y=0$ 代入上式： $$ 0 + 0 \cdot y' + e^0 \cdot y' = 1, $$ 即 $0 + 0 + 1 \cdot y' = 1$，所以 $y' = 1$。因此一阶导数在 $x=0$ 处的值为 $y'(0) = 1$。

公式：$$ y + x y' + e^y y' = 1 $$

提示：隐函数求导时，牢记 $y$ 是 $x$ 的函数，每一项都要对 $x$ 求导。

步骤 3/3

目标：求二阶导数并代入求值

已知一阶导数等式为：$2y + xy' + e^y y' = 0$，且已求得 $x=0$ 时 $y=0$，$y'(0)=1$。现在对等式两边关于 $x$ 再求一次导，得到二阶导数的关系式。对每一项分别求导： - 第一项 $2y$ 的导数为 $2y'$； - 第二项 $xy'$ 的导数为 $y' + xy''$（乘积法则）； - 第三项 $e^y y'$ 的导数为 $e^y y' \cdot y' + e^y y'' = e^y (y')^2 + e^y y''$（乘积法则与链式法则）。因此，求导后得到： $$2y' + (y' + xy'') + [e^y (y')^2 + e^y y''] = 0$$ 整理得： $$2y' + y' + xy'' + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0$$ 即： $$3y' + xy'' + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0$$ 现在代入已知条件：$x=0$，$y=0$，$y'(0)=1$。 - $3y' = 3 \times 1 = 3$； - $xy'' = 0 \times y'' = 0$； - $e^y (y')^2 = e^0 \times 1^2 = 1 \times 1 = 1$； - $e^y y'' = e^0 \times y'' = 1 \times y'' = y''$。代入后得到方程： $$3 + 0 + 1 + y'' = 0$$ 即： $$4 + y'' = 0$$ 解得： $$y''(0) = -3$$ 因此，所求二阶导数值为 $-3$。

公式：$$3y' + xy'' + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0$$

提示：求二阶导时，将一阶导等式整体再求导，注意每一项的求导法则，最后代入已知值。

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