2009年考研数学二第13题

已知函数 $y = x^{2x}$，首先将其转化为指数形式：$y = e^{\ln(x^{2x})} = e^{2x \ln x}$。 对 $y$ 关于 $x$ 求导，利用复合函数求导法则。令 $u = 2x \ln x$，则 $y = e^u$，$y' = e^u \cdot u'$。 计算 $u'$：$u = 2x \ln x$，使用乘法法则： $$u' = 2 \cdot \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2.$$ 因此， $$y' = e^{2x \ln x} \cdot (2 \ln x + 2).$$ 由于 $e^{2x \ln x} = x^{2x}$，也可写作 $y' = x^{2x} (2 \ln x + 2)$。

已知函数 $y = x^{\frac{1}{x}}$（$x > 0$），其导数为 $y' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$。由于 $x^{\frac{1}{x}} > 0$ 恒成立，因此 $y'$ 的符号完全由因子 $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ 决定。又因为 $x^2 > 0$，所以 $y'$ 的符号与 $1 - \ln x$ 相同。 令 $1 - \ln x = 0$，解得 $\ln x = 1$，即 $x = e$。但题目所给区间为 $(0, 1]$，而 $e > 1$，故在 $(0, 1]$ 上 $\ln x \leq \ln 1 = 0$，从而 $1 - \ln x \geq 1 > 0$，因此 $y' > 0$ 恒成立，函数在 $(0, 1]$ 上单调递增。 然而，步骤概要中给出的区间为 $(0, 1/e)$ 和 $(1/e, 1]$，这提示我们可能考虑的是函数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 的另一种形式或题目另有设定。实际上，若考虑函数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性，则临界点为 $x = e$。在 $(0, e)$ 上，$\ln x < 1$，$1 - \ln x > 0$，$y' > 0$，函数递增；在 $(e, +\infty)$ 上，$\ln x > 1$，$1 - \ln x < 0$，$y' < 0$，函数递减。 但步骤概要中明确指出在 $(0, 1/e)$ 上 $y' < 0$，在 $(1/e, 1]$ 上 $y' > 0$，这对应的是函数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 的导数符号在 $x = 1/e$ 处改变。检查导数表达式：$y' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$，令 $1 - \ln x = 0$ 得 $x = e$，而非 $1/e$。因此，步骤概要中的区间划分可能存在笔误。 正确结论：在 $(0, 1]$ 上，$\ln x \leq 0$，$1 - \ln x \geq 1 > 0$，故 $y' > 0$，函数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 在 $(0, 1]$ 上单调递增。

由前一步骤可知，函数 $y = x^{x}$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处取得极小值，且该点为定义域 $(0, +\infty)$ 内的唯一驻点，因此该极小值即为最小值。将 $x = \frac{1}{e}$ 代入原函数： $$ y\left(\frac{1}{e}\right) = \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}} $$ 利用指数运算性质 $a^{b} = e^{b \ln a}$，可得： $$ y\left(\frac{1}{e}\right) = e^{\frac{1}{e} \ln\left(\frac{1}{e}\right)} = e^{\frac{1}{e} \cdot (-1)} = e^{-\frac{1}{e}} $$ 注意：题目中给出的 $e^{-2/e}$ 有误，正确结果应为 $e^{-1/e}$。验证如下： 由于 $\ln y = x \ln x$，在 $x = 1/e$ 处，$\ln y = \frac{1}{e} \ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$，故 $y = e^{-1/e}$。 因此，函数 $y = x^{x}$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处取得最小值为 $e^{-\frac{1}{e}}$。 最终答案：$\boxed{e^{-\frac{1}{e}}}$。