2009年考研数学二第14题

填空题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量， $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置．若矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$ $\_\_\_\_$

💡 答案解析

**答案**: 2 ．

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**解析**:

因为 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=\lambda_{3}=0$ ． 令 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3}\end{array}\right)$ ， 则 $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=2$ ． 方法点评：本题考查矩阵相似、矩阵的迹、向量的内积．注意掌握如下性质：

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定αβ^T的特征值
已知 $\alpha = (1,1,1)^T$，$\beta = (1,0,1)^T$，则 $\alpha\beta^T$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵。首先计算 $\beta^T\alpha$，这是一个标量：$\beta^T\alpha = (1,0,1)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=1\times1+0\times1+1\times1=2$。由于 $\alpha\beta^T$ 的秩为1（因为 $\alpha$ 和 $\beta$ 均为非零向量），且 $\alpha\beta^T$ 的迹等于 $\beta^T\alpha = 2$，所以 $\alpha\beta^T$ 的非零特征值就是 $2$，其余两个特征值为 $0$。另外，由矩阵相似于对角矩阵 $\operatorname{diag}(2,0,0)$ 可知，相似矩阵具有相同的特征值，因此 $\alpha\beta^T$ 的特征值为 $2,0,0$。
公式：$$\beta^T\alpha = 2, \quad \text{特征值: } 2,0,0$$
提示：利用 $\beta^T\alpha$ 直接得到非零特征值，其余特征值均为0。
步骤 2/3
目标：建立β^Tα与αβ^T迹的关系
设列向量 $\alpha = (a_1, a_2, a_3)^T$，$\beta = (b_1, b_2, b_3)^T$。首先计算 $\beta^T \alpha$，这是一个标量： $$\beta^T \alpha = b_1 a_1 + b_2 a_2 + b_3 a_3 = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$ 接着计算矩阵 $\alpha \beta^T$，它是一个 $3 \times 3$ 矩阵： $$\alpha \beta^T = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix}.$$ 矩阵 $\alpha \beta^T$ 的迹（trace）等于其主对角线元素之和： $$\operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$ 比较 $\beta^T \alpha$ 与 $\operatorname{tr}(\alpha \beta^T)$ 的结果，两者完全相同，均为 $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$。因此得到关键关系： $$\beta^T \alpha = \operatorname{tr}(\alpha \beta^T).$$ 这一关系对于任意同维列向量 $\alpha, \beta$ 均成立，其本质是：一个行向量与列向量的乘积（标量）等于该列向量与行向量乘积矩阵的迹。在后续步骤中，我们将利用这一关系将 $\beta^T \alpha$ 转化为矩阵的迹，以便进一步化简。
公式：$$\beta^T \alpha = \operatorname{tr}(\alpha \beta^T)$$
提示：注意 $\alpha\beta^T$ 是矩阵，其迹等于对应位置乘积之和，与内积结果一致。
步骤 3/3
目标：利用迹等于特征值之和求值
已知矩阵 $A = \alpha \beta^T$ 的特征值为 $2, 0, 0$。矩阵的迹（trace）等于所有特征值之和，即 $\operatorname{tr}(A) = 2 + 0 + 0 = 2$。另一方面，对于列向量 $\alpha$ 和行向量 $\beta^T$ 的外积，其迹满足 $\operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = \beta^T \alpha$。这是因为 $\operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = \sum_{i=1}^n (\alpha \beta^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i = \beta^T \alpha$。因此有 $\beta^T \alpha = 2$。最终答案为 $\beta^T \alpha = 2$。验证：由特征值之和等于迹，$2+0+0=2$，而 $\operatorname{tr}(\alpha \beta^T)=\beta^T \alpha$，故结果正确。
公式：$$\operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = \beta^T \alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i$$
提示：记住：外积 $\alpha \beta^T$ 的迹就是内积 $\beta^T \alpha$，可直接使用。

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