📋 详细解题步骤
目标：找出所有间断点
首先，分析函数 $f(x)=\frac{x-\tan x}{\sin(\pi x)}$ 的间断点。间断点可能出现在分母为零或函数无定义的位置。分母为 $\sin(\pi x)$，令 $\sin(\pi x)=0$，解得 $\pi x = k\pi$，即 $x = k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。因此，所有整数点 $x = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ 都是分母为零的点，这些点使得函数无定义，故为间断点。此外，分子中的 $\tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$（$n \in \mathbb{Z}$）处也无定义，但这些点与分母零点 $x = k$ 不同，需在后续步骤中进一步判断是否属于间断点。本步骤仅根据分母为零的条件，初步确定所有整数点 $x = k$（$k \in \mathbb{Z}$）为间断点。
公式：$$\sin(\pi x)=0 \Rightarrow \pi x = k\pi \Rightarrow x=k,\ k\in\mathbb{Z}$$
提示：先找分母零点，再单独检查分子中其他无定义点。
目标：计算x=0处的极限
我们需要计算函数在$x=0$处的极限。给定的函数为$f(x)=\frac{x-x^3}{\sin(\pi x)}$。当$x\to 0$时，分母$\sin(\pi x)$是无穷小量，分子$x-x^3$也是无穷小量，因此这是一个$\frac{0}{0}$型未定式。利用等价无穷小替换：当$u\to 0$时，$\sin u \sim u$。这里$u=\pi x$，所以当$x\to 0$时，$\sin(\pi x) \sim \pi x$。于是极限可以化简为：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{x-x^3}{\sin(\pi x)} = \lim_{x\to 0} \frac{x-x^3}{\pi x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(1-x^2)}{\pi x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-x^2}{\pi}.
$$
由于$x\to 0$时，$x^2\to 0$，因此$1-x^2\to 1$，所以极限值为$\frac{1}{\pi}$。该极限存在且为有限值，故$x=0$是函数的可去间断点。注意，在替换过程中，我们要求等价无穷小替换在乘除运算中有效，这里分子分母均为乘积形式，替换是合法的。
公式：$$\lim_{x\to 0} \frac{x-x^3}{\sin(\pi x)} = \lim_{x\to 0} \frac{x-x^3}{\pi x} = \frac{1}{\pi}$$
提示：注意等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，且必须确保替换后的极限存在。
目标：判断其他整数点
现在考虑其他整数点 $x=k$，其中 $k \neq 0, \pm 1$。对于这些点，分子 $\sin(\pi x)$ 在 $x=k$ 处的值为 $\sin(k\pi)=0$，但分母 $x(x-1)(x+1)$ 在 $x=k$ 处不为零（因为 $k \neq 0, \pm 1$），因此分子不为0而分母为0，极限为无穷大。具体地，当 $x \to k$ 时，$\sin(\pi x) \sim (-1)^k \pi (x-k)$（利用正弦函数的泰勒展开），而分母 $x(x-1)(x+1)$ 在 $x=k$ 处非零，故极限为 $\infty$，属于第二类间断点（无穷间断点），不是可去间断点。因此，只有 $x=0,1,-1$ 这三个点可能是可去间断点。接下来需要验证这三个点是否确实为可去间断点。对于 $x=0$，极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{\pi}{(-1)(1)} = -\pi$，极限存在，故 $x=0$ 是可去间断点。对于 $x=1$，令 $t=x-1$，则 $x=1+t$，$\sin(\pi(1+t)) = \sin(\pi+\pi t) = -\sin(\pi t) \sim -\pi t$，分母 $x(x-1)(x+1) = (1+t) \cdot t \cdot (2+t) \sim 2t$，所以极限 $\lim_{t \to 0} \frac{-\pi t}{2t} = -\frac{\pi}{2}$，极限存在，故 $x=1$ 是可去间断点。对于 $x=-1$，令 $t=x+1$，则 $x=-1+t$，$\sin(\pi(-1+t)) = \sin(-\pi+\pi t) = -\sin(\pi t) \sim -\pi t$，分母 $x(x-1)(x+1) = (-1+t) \cdot (-2+t) \cdot t \sim 2t$，所以极限 $\lim_{t \to 0} \frac{-\pi t}{2t} = -\frac{\pi}{2}$，极限存在，故 $x=-1$ 也是可去间断点。因此，函数 $f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{x(x-1)(x+1)}$ 的可去间断点共有3个，分别为 $x=0,1,-1$。最终答案：3个。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x(x-1)(x+1)} = -\pi, \quad \lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x(x-1)(x+1)} = -\frac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -1} \frac{\sin(\pi x)}{x(x-1)(x+1)} = -\frac{\pi}{2}
提示：先找出分母为零的点，再逐一判断分子是否也为零，若分子也为零则需计算极限，极限存在即为可去间断点。